Hoe om die wortels van `n tweede graad vergelyking te vind

`N Tweede graadvergelyking is enige polinoom wat die volgende vorm het: byl + bx + c = 0

conținut

Stappe
Metode 1
Metode 2
Factoring met `n "a" waarde gelyk aan 1
Factoring met `n "a" waarde ≠ 1
Wenke

, waar: a ≠ 0. Alhoewel die titel van hierdie artikel dalk geïntimideer kan word, is dit regtig nie. "Vind die wortels" is eenvoudig dieselfde as om die waarde van "x" in die vergelyking te vind. Enige vergelyking van die tweede graad kan opgelos word met die volgende formule: x = (-b + / - √ (b - 4ac)) / 2a. Daarbenewens is daar verskeie truuks wat jy kan gebruik om die wortels te vind, afhangende van die vergelyking wat jy probeer oplos.

stappe

Metode 1

Gebruik die kwadratiese formule

Prent getitel Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 1

Skryf jou vergelyking in die kwadratiese vorm neer. Die amptelike definisie van `n tweedegraadse vergelyking is `n tweede orde polinoom uitgedruk in `n enkele veranderlike "x "waarin: a ≠ 0. In eenvoudige terme beteken dit dat dit `n vergelyking met `n enkele veranderlike is (wat gewoonlik `x` is) wie se maksimum krag is 2. In die algemeen kan ons dit so uitdruk: byl + bx + c = 0
Om `n vergelyking in kwadratiese vorm op te los, moet ons al die terme aan die een kant van die gelyke teken (=) vervoer totdat ons bereik nul aan die ander kant. As u byvoorbeeld die vergelyking "2x + 8x = -5x - 11" in kwadratiese vorm wil oplos, kan u dit op die volgende manier doen:
2x + 8x = -5x + 11
2x +5x + 8x = +11
2x + 5x + 8x - 11 = 0
7x + 8x - 11 = 0 . Hou in gedagte dat dit die standaardvorm (byl + bx + c = 0) is wat ons hierbo genoem het.

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 2

Vervang "a", "b" en "c" in: x = (-b + / - √ (b - 4ac)) / 2a. Dit is maklik om die wortels van `n tweedegraadse vergelyking met die kwadratiese formule te vind. Jy moet net "a", "b" en "c" vervang in die formule en vind die waarde van "x". Aangesien die vorm van `n tweedegraadse vergelyking: ax + bx + c = 0 beteken dit dat die getal langs die term "x" "a" is, die nommer langs die term "x" is "b", en die getal sonder `n term `x` is `c`.

In die volgende vergelyking: 7x + 8x - 11 = 0, a = 7, b = 8, en c = -11.

Ons vervang dit in die formule en ons kry dit x = (-8 + / - √ (8 - 4 (7) (- 11))) / 2 (7)

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 3

Los die vergelyking op. Sodra u die waardes van "a", "b" en "c" in die formule vervang het, moet u eers die basiese algebraïese bewerkings uitvoer voordat u die "+/;" simbool bereik. Ons sal hierdie simbool in die volgende stap ondersoek.

As ons met die vorige voorbeeld voortgaan, los ons dit op die volgende manier:

x = (-8 + / - √ (8 - 4 (7) (- 11))) / 2 (7)

x = (-8 + / - √ (64 - (28) (- 11))) / (14)

x = (-8 + / - √ (64 - (-308))) / (14)

x = (-8 + / - √ (372)) / (14)

x = (-8 + / - 19.29 / (14) . Kom ons laat dit hier om dit voort te sit in die volgende stap.

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 4

Voeg en trek so dat jy kry twee finale antwoorde Een van die mees ingewikkelde dinge om die wortels van `n tweedegraadse vergelyking te vind, is dat jy oor die algemeen dit kry twee korrekte antwoorde (As jy vergelykings oplos wat jou as huiswerk op skool gelos het, moenie vergeet om albei antwoorde in te sluit sodat jy meer punte kry nie). Om beide waardes van "x" te kry, voltooi die vergelyking Eerste toevoeging en dan aftrekking.

Wanneer ons byvoeg, kry ons dit:

x = (-8 + 19.29) / (14)

x = 11.29 / 14

x = 0.81

En wanneer afgetrek word:

x = (-8 - 19.29) / (14)

x = (-27.29) / (14)

x = -1.95 .

Daarom is ons antwoorde "0.81" en "-1.95".

Prent getitel Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 5

Verifieer jou antwoorde As jy tyd het, sal dit goed wees om die wortels van jou vergelyking te verifieer sodra jy dit gevind het. Aangesien die oplos van `n tweede graad vergelyking `n lang reeks wiskundige bewerkings behels, is dit baie maklik om eenvoudige foute te maak wat jou antwoorde kan verander. Gelukkig het ons eenvoudige verifikasiemetodes wat sal openbaar as u die regte wortels het.

Die vinnigste en maklikste manier om jou antwoorde te verifieer, is eenvoudig deur die waardes van "a", "b" en "c" in `n outomatiese reaksieprogram vir tweedegraadse vergelykings te plaas. U kan hierdie tipe programme aanlyn vind. Byvoorbeeld, hier ons verlaat jou een van mathisfun.com.

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 6

As alternatief, kontroleer jou antwoorde met die hand. As jy nie in staat is om `n virtuele hulpmiddel te gebruik om jou antwoorde te verifieer nie, kan jy dit handmatig doen. Vervang "x" met u antwoorde in die oorspronklike vergelyking. As jou vergelyking gelyk is aan nul (of baie naby aan nul, wat oor die algemeen as gevolg van afronding is), dan het jy die regte wortels.

Kom ons vervang x met ons antwoorde in die vergelyking: 7x + 8x - 11 = 0 om te verifieer of hulle korrek is:

7 (-1,95) + 8 (-1,95) - 11

26,62 - 15,6 - 11

26,62 - 26,5 = 0,02 Hierdie resultaat is baie naby aan nul, dus die verskil is waarskynlik as gevolg van afronding en nie omdat dit `n verkeerde antwoord is nie.

7 (0.81) +8 (0.81) - 11

4,59 + 6,48 - 11 = 0.07 Hierdie resultaat is soortgelyk aan die vorige een, so ons antwoorde is heel waarskynlik korrek.

Metode 2

Vind die wortels deur factoring

Factoring met `n "a" waarde gelyk aan 1

Prent getitel Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 7

Begin met `n vergelyking in kwadratiese vorm. Alhoewel lyne hierbo ons die kwadratiese formule as `n waardevolle instrument beskryf het, is dit nie die enigste manier om vergelykings van die tweede graad op te los nie. Byvoorbeeld, sommige vergelykings van die tweede graad kan wees Factoring, wat beteken dat hulle op `n manier herschryf word wat hulle makliker maak om op te los. Jy moet egter jou vergelyking in die standaard kwadratiese vorm skryf: byl + bx + c = 0.
In hierdie afdeling,
kom ons werk net met vergelykings van die tweede graad met `n veranderlike `a` gelyk aan `1`. Wanneer die veranderlike "a" nie gelyk is aan "1" nie, is die proses `n bietjie moeiliker (sien hieronder). Vir hierdie afdeling gebruik ons die volgende voorbeeld: x + 7x + 12 = 0. In die volgende stappe sal ons hierdie vergelyking faktoriseer en oplos.

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 8

Stel jou vergelyking soos volg: (x + _) (x + _) = 0. "Factoring" is net `n term wat beteken "soek na die waardes wat mekaar vermenigvuldig om jou `n ander resultaat te gee". In hierdie geval probeer ons ons tweede graad vergelyking onder sy faktore te verdeel. Sedert die term "x" met die hoogste mag is "x" (of, met ander woorde, x × x), sal ons begin deur die oprigting van die factorized vorm van die vergelyking soos volg: (x + _) ( x + _) = 0

Hou die oop spasies in gedagte. In die volgende stappe sal ons hierdie spasies invul om die gefaktoreerde vergelyking te voltooi.

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 9

Vind die faktore van die term "c". Maak nou `n lys met al die nommers wat as gevolg van die vermenigvuldiging van mekaar, die waarde van die term "c" van die vergelyking van die tweede graad gee. Dit sal die faktore wees.

In ons vergelyking (x + 7x + 12 = 0), ons term "c" is 12. Die getalle kan vermenigvuldig om te kry 12 is 1 en 12, 2 en 6, en 3 en 4. Dit beteken dat die faktore van 12 is: 1, 2, 3, 4, 6 en 12.

Prent getitel Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 10

Vind die twee faktore van "c" waarvan die som gelyk is aan die waarde van die term "b". Kies uit jou lys van faktore van die term "c" die twee wie se som gelyk aan die waarde van die term "b". Ons verduidelik dat u nie die faktore van die term "b" soek nie, slegs twee getalle wat saam dieselfde waarde van die term "b" byvoeg.

In ons vergelyking (x + 7x + 12 = 0) is ons term "b" 7. Die lys van faktore van "c" is: 1, 2, 3, 4, 6 en 12. Die 3 en die 4 voeg 7 by, dus dit is die nommers wat ons soek.

indien Daar was nie twee getalle in hierdie lys wat saam 7 voeg nie, ons sou sê dat die vergelyking "onreduseerbaar is op heelgetalle". Vir ons doeleindes beteken dit basies dat die vergelyking nie verwerk kan word nie en dat ons `n ander metode moet gebruik om die wortels te vind.

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 11

Vul die spasies van jou factored vergelyking in. Nou moet jy net die spasies van die vergelyking in gefaktoriseerde vorm invul met die twee getalle wat jy net gekies het uit die lys faktore. Dit gee jou die gefaktoreerde vorm van die oorspronklike tweede graadvergelyking.

Vul die spasies in: (x + 3) (x + 4) = 0.

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 12

Vind beide waardes van "x". Nou, al wat jy moet doen om die oorsprong van die oorspronklike vergelyking te vind, is om die terme in elke hakie te plaas, gelykstaande aan nul, om die waarde van "x" te vind. Aangesien die terme tussen hakies mekaar vermenigvuldig, as een van hulle gelyk is aan nul, sal die totale vergelyking ook gelyk wees aan nul. Daarom is die wortels van die vergelykings die waardes van "x", wat elke stel terme tussen hakies gelyk aan nul maak.

In ons voorbeeld is ons terme tussen hakies "(x + 3)" en "(x + 4)". As ons elkeen gelyk stel aan nul, kry ons die volgende:

x + 3 = 0- x = -3

x + 4 = 0- x = -4

Hou in gedagte dat ons beide resultate presies kan verifieer as wat ons sou as ons die kwadratiese formule gebruik het.

Factoring met `n "a" waarde ≠ 1

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 13

Verdeel die term "a" onder sy faktore. As die term "a" in `n tweedegraadse vergelyking nie gelyk is aan een nie, is dit `n bietjie moeiliker om te faktor, maar nie onmoontlik nie. Begin deur die term "a" onder sy faktore te verdeel. Omdat daar `n "x" in die term "a" is, bevat beide faktore "x".

In hierdie afdeling sal ons die volgende voorbeeld gebruik: 2x + 14x + 12 = 0. In hierdie geval is "2x" ons "a" term. Aangesien 2 `n priemgetal is, is die enigste faktore 2 en 1. Vir ons doeleindes beteken dit dat die "2x" faktore is "2x" en "x".
Hou in gedagte dat daar gevalle is waar daar meer as twee faktore vir die term "a" is. Byvoorbeeld, as dit "8x" is, sou ons "8x" en "x" plus "2x" en "4x" hê. In hierdie geval moet ons albei kyk om die stel te vind wat pas.

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 14

Bepaal die gefaktoriseerde vergelyking op die volgende manier: ((faktor 1) + _) ((faktor 2) + _). Kom ons begin feitelik presies op dieselfde manier as in die vorige afdeling. Maar hierdie keer sal ten minste een van ons terme `x` `n koëffisiënt daaraan hê (soms sal albei dit hê - dit hang af van die faktore waarin u die term "a" verdeel het).

In ons voorbeeld stel ons ons vergelyking op die volgende manier: (2x + _) (x + _).

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 15

Vind die faktore van die term "c". Hierdie gedeelte is presies dieselfde as die vorige gedeelte. Vind die getalle wat vermenigvuldig het, gee jou die waarde van "c".

In ons voorbeeld, aangesien ons term "c" nog 12 is, is ons lys van faktore dieselfde: 1, 2, 3, 4, 6 en 12.

Prent getiteld Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 16

Vind twee getalle in die lys wat jou die waarde van die term "b" gee. Dit is die moeilike deel. Jy moet twee getalle kies wat as gevolg van die feitekening van die vergelyking, die term "b" in die oorspronklike tweede graadvergelyking gee. Hou egter in gedagte dat hierdie keer nie net twee "x`s" in die gegewe vorm van die vergelyking sal hê nie, maar u sal ten minste een "x" term met `n koëffisiënt hê.

In ons voorbeeld is ons term "b" "14x". Dit beteken dat ons twee getalle uit die lys van faktore van "c" moet vind, deur een te vermenigvuldig met "2x" en die ander deur "x" ons `n totaal van "14x" te gee.

Kom ons kyk na ons vorige faktore: 3 en 4. 3 × 2x = 6x, 4 × x = 4x. 4x + 6x = 10x. Dit is nie hoe dit werk nie, so ons gaan dit omdraai. 4 × 2x = 8x, 3 × x = 3x. 8x + 3x = 11x. In geen operasie kry ons 14x, so hierdie stel faktore is verkeerd.

Nou doen ons dieselfde met die 6 en die 2. 6 × 2x = 12x, 2 × x = 2x. 12x + 2x = 14x. Bingo! Ons sal die 6 en die 2 gebruik om die spasies van ons factored vergelyking in te vul.

Prent getitel Vind die wortels van `n kwadratiese vergelyking Stap 17

Vul die spasies in en vind die waarde van "x" soos jy normaalweg doen. Gebruik nou die twee faktore wat jy net gevind het om die spasies van die gefaktoreerde vergelyking in te vul. Hou in gedagte dat jy elkeen in die korrekte spasie moet plaas sodat sodra die terme "x" vermenigvuldig word, kry jy die korrekte "b" term. Voltooi dan elke stel tussen hakies deur hulle na nul te vergelyk, en los hulle op soos ons voorheen gedoen het.

In hierdie geval sal die vergelyking die volgende wees: (2x + 2) (x + 6) = 0. Pas elke hakies na nul sodat jy dit kry:

2x +2 = 0

2x = -2 - x = -1

x + 6 = 0 - x = -6

wenke

Onthou dat `n vierkantswortel sowel positief as negatief kan wees. Moenie in die strik val om een antwoord te skryf as daar twee moet wees nie.
Hou in gedagte dat, om sommige vergelykings van die tweede graad op te los, daar `n gevorderde metode bekend staan as die "vierkant voltooi". U sal `n volledige gids vind ons artikel oor hierdie onderwerp.
Glo dit of nie, die factoringmetode en die invul van die vierkant is net twee omslagtige maniere om vergelykings op te los deur die kwadratiese formule te gebruik. hersiening ons artikel oor hoe om die kwadratiese formule te kry Om `n goeie ontbinding te maak, maar wees versigtig omdat dinge baie ingewikkeld raak.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante