Hoe om trigonometriese ongelykhede op te los

A trigonometriese inequation bevat een of meer trigonometriese funksies van die boog veranderlike x in die R [f (x), g (x), ...]> 0 (of < 0), waarin f (x), g (x), ... trigonometriese funksies van boog x is. Met die skoonmaak van "x" beteken die vind van die waardes van die veranderlike boog x waarvan die trigonometriese funksies veroorsaak dat die ongelykheid bevredig word. Al hierdie waardes van "x" maak die oplossing van die trigonometriese ongelykheid uit, wat in intervalle uitgedruk word. Die waardes van die boog x word in radiale of grade uitgedruk.

Voorbeelde van trigonometriese ongelykhede:

sin x + sin 2x> -sen 3x - sin x + sin 3x < 1 - 2tan x + tan 2x> 3cot x - cos 2x -2> -3sen x

stappe

Prent getiteld Los `n Algebraïese Expression Stap 4 op

Om `n trigonometriese ongelykheid op te los, verander dit in verskeie basiese trigonometriese ongelykhede. Die oplos van trigonometriese ongelykhede lei uiteindelik tot die oplos van basiese trigonometriese ongelykhede.

Die transformasieproses is dieselfde as die een wat trigonometriese vergelykings opgelos het.
Die algemene tydperk van `n trigonometriese ongelykheid is die minste algemene veelvoud van die periodes van alle trigonometriese funksies wat in gelykheid aangebied word.
Byvoorbeeld, die trigonometriese ongelykheid sin x + sin 2x + cos x / 2 < 1 het 4Pi as `n algemene tydperk.
Byvoorbeeld, die trigonometriese uitdrukking tan x + cot x / 2 het 2Pi as die algemene periode.
Tensy anders aangedui, moet die oplossing van `n trigonometriese ongelykheid binne `n volledige algemene tydperk opgelos word.

Leer die 4 tipes basiese trigonometriese ongelykhede:

sin x> a (of < a) - cos x> a (of < a)

so x> a (of < a) - cot x> a (of < a)

Om te weet hoe om hierdie basiese trigonometriese ongelykhede op te los, lees die boek getiteld "Trigonometrie: Die oplossing van trigonometriese vergelykings en ongelykhede "(" Trig: die oplossing van vergelykings en trigonometriese ongelykhede "). (Amazon E-boek 2010) om basiese trigonometriese inequations los, ons voortgaan om die verskillende posisies van die boog veranderlike x, wat roteer in die studie Trigonometriese eenheid omtrek en trigonometriese tafels of sakrekenaars te gebruik.

Voorbeeld 1: los op: sin x> 0.709

Oplossing: die trigonometriese eenheids omtrek en die trigonometriese tabel verskaf die oplossing.

Pi / 4 + 2k.Pi < x < 3Pi / 4 + 2k.Pi

Voorbeeld 2: Los op: bruin x < 0,414

Oplossing: die trigonometriese tafel en die trigonometriese eenheids omtrek bied die oplossing.

-Pi / 2 + k.Pi < x < Pi / 8 + k.Pi

Prent getiteld Los `n algebraïese uitdrukking op Stap 1

As die trigonometriese ongelykheid slegs een trigonometriese funksie bevat, los dit op as `n basiese trigonometriese ongelykheid. As die ongelykheid meer ingewikkeld is en twee of meer trigonometriese funksies bevat, los dit in 4 stappe op.

Prent getiteld Los trigonometriese ongelykhede op Stap 5

Stap 1: transformeer die gegewe ongelykheid na die standaardvorm R [x]> 0 (of < 0).

Voorbeeld: die ongelykheid (cos 2x < 2 + 3sen x) sal na die standaardvorm getransformeer word: R [x] = cos 2x - 3sen x -2 < 0.

Byvoorbeeld: die inequation (2tan x + 2x as> 3cot x) getransformeer tot R [x] = x + 2tan as 2x - 3cot x> 0.

Stap 2 Vind die algemene tydperk. Die algemene tydperk van `n trigonometriese ongelykheid moet die minste algemene veelvoud wees van die periodes van al die trigonometriese funksies wat in die ongelykheid voorkom.

Voorbeeld: die trigonometriese ongelykheid R [x] = cos 2x - 3sen x - 2 < 0 het `n 2Pi as `n algemene tydperk, wat die minste algemene veelvoud van die 2 periodes is: 2Pi en Pi.

Byvoorbeeld: die trigonometriese inequation sin x + sin 2x + sin 3x> 0 moet 2Pi as algemene tydperk, wat is die kleinste gemene veelvoud van 3 periodes: 2Pi, Pi en 2Pi / 3.

Voorbeeld: die trigonometriese ongelykheid sonde 3x + cos x / 2 - 1 < 0 het `n 4Pi as `n algemene tydperk.

Prent getiteld Los trigonometriese ongelykhede op Stap 7

Stap 3 Transformeer die gegewe aan die trigonometriese vergelyking R [x] = 0 en verwyder "x" daarvan. Om te leer hoe om te transformeer en op te los die trigonometriese vergelyking R [x] = 0, lees asseblief die artikel "Hoe om trigonometriese vergelykings op te los" op die wikiHow site. Om te onthou, hier is 2 benaderings:

a. Die eerste benadering transformeer die gegewe trigonometriese vergelyking in `n produk van verskeie basiese trigonometriese vergelykings. Dan word hierdie basiese trigonometriese vergelykings afsonderlik opgelos om al die waardes van x binne die gemeenskaplike tydperk te vind. Hierdie waardes van x sal in STAP 4 gebruik word.

Voorbeeld: los die volgende trigonometriese ongelykheid op: cos x + cos 2x + cos 3x> 0.

Oplossing: die gebruik van trigonometriese identiteite om die vergelyking R transformeer [x] = cos x + cos cos 2x + 3x = 0 in die volgende produk: cos 2x (1 + 2 cos x) = 0.

Los dan die basiese trigonometriese vergelykings 2 f (x) = 0 en g = cos2x (x) = 1 + 0 = cos2x om alle waardes van x in die algemeen tydperk vind.

b. Die tweede benadering transformeer die gegewe trigonometriese vergelyking in `n enkele trigonometriese vergelyking wat slegs een trigonometriese funksie bevat (`t` genoem) as `n veranderlike. Maak t skoon van hierdie getransformeerde trigonometriese vergelyking en assosieer dan die waardes van "t" met die ooreenstemmende waardes van "x". Die veranderlikes van algemene funksies wat gekies moet word, is die volgende: sin x = t, cos x = t, tan x = t en tan x / 2 = t.

Voorbeeld: los R [x] = cos 4x + 3cos2x + 1 op < 0.

Oplossing: Verander die vergelyking R [x] in `n kwadratiese trigonometriese vergelyking met cos2x = t as `n veranderlike:

2cos ^ 2 2x + 3cos 2x + 1 = 2t ^ 2 + 3t + 1 = 0

Vind "t" deur hierdie kwadratiese vergelyking op te los. Daar is 2 regte wortels: t = -1 en t = -1/2. Maak dan `x` uit die volgende basiese trigonometriese vergelykings: cos 2x = t = -1 en cos 2x = t = -1/2. Al hierdie waardes van "x" sal in STAP 4 gebruik word.

Prent getiteld Gaan Wiskunde probleme maklik Stap 2

Stap 4 Los die trigonometriese ongelykheid op wat R (x) gegee word. < 0 (of> 0) volgens die algebraïese metode, met behulp van `n tabel van tekens.

Voorbeeld: los die ongelykheid R [x] = sin x + sin 3x op < -sens 2x (1)

Oplossing: die standaardvorm is soos volg: sin x + sin 2x + sin 3x < 0. Die algemene tydperk is 2Pi. Transformeer (1) in die produk R [x] = 2sen 2x (cos x - 1/2) < 0. In stap 3 los R (x) = 0. Los die basiese vergelyking f (x) = sin 2x = 0. Die boë bied die oplossing is: 0, Pi / 2, Pi, 3pi / 2, 2pi. Los dan die vergelyking g (x) = cos x - 1/2 = 0. Die boë wat die oplossing bied, is Pi / 3 en 5Pi / 3. Al hierdie 7 waardes van "x" sal gebruik word om `n tekentafel in stap 4 op te stel om R (x) op te los. < 0 (of> 0)

Prent getiteld Los trigonometriese ongelykhede op Stap 9

Skep `n tabel met tekens waarin die boonste lyn al die waardes van x in `n progressiewe volgorde van 0 tot 2Pi insluit. Hierdie opeenvolgende waardes van "x" skep verskillende intervalle tussen hulle.

Eerstens, bereken die variasie van f (x) = sin 2x op die tweede lyn van die tekentafel. Om dit te doen, moet ons die verskillende posisies van die boog x oorweeg wat in die trigonometriese eenheidsomtrek roteer. Byvoorbeeld, as "x" in die eerste kwadrant is, is die 2x-boog in die tweede kwadrant en sonde 2x is positief. Merk die intervalle met die "+" en ";" tekens volgens die variasie van f (x).

Bereken dan die variasie van g (x) = cos x - 1/2 op die derde reël van die tekentafel. Los en merk die intervalle met `n "+" of ";" teken, soos in die operasie bo.

In die laaste reël die variasie van R [x] bereken word met tekens "+" en ";" wat kombinasies van tekens Produk R [x] = f (x) .g (x) in elke interval is. In hierdie voorbeeld maak al die intervalle ";" van die laaste lyn die oplossing van die trigonometriese ongelykheid wat R (x) gegee word. < 0 binne die gemeenskaplike tydperk. Die oplossing is die volgende: (Pi / 3, Pi / 2), (Pi, 3Pi / 2) en (5Pi / 3, 2Pi).

Nota 1: die benadering vir die bepaling van die variasie van f (x) en g (x) is presies dieselfde vir die oplos van basiese trigonometriese inequations: dit is die studie van die verskillende posisies van die boog veranderlike x in die trigonometriese eenheidsirkel.

Nota 2: die grafiese metode. Hierdie metode gebruik grafiese sakrekenaars om die trigonometriese ongelykheid direk gegewe R [x]> 0 (of < 0). Hierdie metode, indien die professore, praktyke of eksamens dit toelaat, is vinnig, akkuraat en gerieflik. Om te weet hoe om dit te doen, lees die laaste hoofstuk van die trigonometrieboek hierbo genoem.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante