Hoe om polinome van hoër grade op te los

Die oplossing van `n hoë-orde polinoom het dieselfde doel as `n kwadratiese funksie of `n eenvoudige algebraïese uitdrukking: Ek aan soveel as moontlik faktor en dan gebruik om die vind van oplossings vir die polinoom toe y = 0. Daar is baie metodes om polinome met `n term op te los $x$

conținut
Stappe
Metode 1
Metode 2
Doen die rasionele wortels toets
Sintetiese afdeling
Wenke
Waarskuwings

3{ displaystyle x ^ {3}} of hoër U moet dalk verskeie gebruik voordat u een vind wat die betrokke probleem dien.

stappe

Metode 1

Herken die faktore

Vind die algemene faktore van al die terme. As al die terme in die polinoom `n gemeenskaplike faktor het, faktoriseer hulle om die probleem te vereenvoudig. Dit is nie moontlik vir alle polinoom nie, maar dit is `n goeie benadering wat u eers kan hersien.

Voorbeeld 1: vind die waarde van x in die polinoom ${ displaystyle 2x ^ {3} + 12x ^ {2} + 16x = 0}$ .
Elke term is deelbaar met 2x, dus faktoriseer hulle:
${ displaystyle (2x) (x ^ {2}) + (2x) (6x) + (2x) (8) = 0}$
${ displaystyle = (2x) (x ^ {2} + 6x + 8)}$
nou los die kwadratiese vergelyking op Gebruik die kwadratiese formule of factoring:
${ displaystyle (2x) (x + 4) (x + 2) = 0}$
Die oplossings is in 2x = 0, x + 4 = 0 en x + 2 = 0
Die oplossings is x = 0, x = -4 y x = -2

Identifiseer die polinoom wat as `n kwadratiese funksie optree. U kan dalk reeds weet hoe om tweedegraadse polinome in die vorm van

{ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}

. U kan polinome van `n hoër graad op dieselfde manier oplos as hulle in die formaat is

{ displaystyle ax ^ {2n} + bx ^ {n} + c}

. Hier is `n paar voorbeelde:

Voorbeeld 2:

{ displaystyle 3x ^ {4} + 4x ^ {2} -4 = 0}

Laat dit

{ displaystyle a = x ^ {2}}

{ displaystyle 3a ^ {2} + 4a-4 = 0}

Los die kwadratiese funksie op Gebruik enige metode:

{ displaystyle (3a-2) (a + 2) = 0}

, daarom a = -2 o a = 2/3.
vervang ${ displaystyle x ^ {2}}$ deur `n: ${ displaystyle x ^ {2} = - 2}$ of ${ displaystyle x ^ {2} = 2/3}$ .
x = ± √ (2/3). Die ander vergelyking, ${ displaystyle x ^ {2} = - 2}$ , het nie `n regte oplossing nie (as jy komplekse getalle gaan gebruik, los dit op as x = ±i√2).

Voorbeeld 3:

{ displaystyle x ^ {5} + 7x ^ {3} -9x = 0}

volg nie hierdie patroon nie maar let op dat u `n faktor kan faktor x:
${ displaystyle (x) (x ^ {4} + 7x ^ {2} -9) = 0}$
Nou kan jy behandel ${ displaystyle x ^ {4} + 7x ^ {2} -9}$ as `n kwadratiese funksie, soos in voorbeeld 2 getoon.

Faktoreer die somme of verskille van die kubieke terme. Hierdie spesiale gevalle lyk moeilik om te faktor, maar hulle het eienskappe wat die probleem baie goed fasiliteer:

Som van blokkies: `n polinoom in die vorm

{ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}

dit is in factored

{ displaystyle (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2}}}

Verskil van blokkies: `n polinoom in die vorm

{ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}

dit is in factored

{ displaystyle (a-b) (a2 + ab + b2)}

Let daarop dat die kwadratiese gedeelte van die uitslag nie verwerk kan word nie.

Hou in gedagte dat

{ displaystyle x ^ {6}}

{ displaystyle x ^ {9}}

en x Gee aan enige krag deelbaar deur 3 fiks in hierdie patrone.

Soek patrone om ander faktore te vind. Polinome wat nie ooreenstem met die vorige voorbeelde nie, kan geen duidelike faktore hê nie. Probeer egter eers om `n faktor van twee terme te vind (soos "x + 3 "). Groepering verskillende ordes en terme van die polinoom factoring kan jou help om dit te vind. Dit is nie altyd `n haalbare benadering, so het nie veel tyd om te probeer as dit lyk onwaarskynlik dat enige gemene faktor vind wy.

Voorbeeld 4:

{ displaystyle -3x ^ {3} -x ^ {2} + 6x + 2 = 0}

Dit het geen duidelike faktor nie, maar jy kan die eerste twee terme faktoriseer en sien wat gebeur:

{ displaystyle (-x ^ {2}) (3x + 1) + 6x + 2 = 0}

Nou, faktor die laaste twee terme ("6x + 2 "), wat verwys na `n gemeenskaplike faktor:
${ displaystyle (-x ^ {2}) (3x + 1) + (2) (3x + 1) = 0}$
Skryf dit nou deur die gewone faktor "3x + 1 ":
${ displaystyle (3x + 1) (- x ^ {2} +2) = 0}$

Metode 2

Die rasionele wortels en die sintetiese afdeling

Probeer om `n wortel van die polinoom te identifiseer. Sintetiese verdeling is `n nuttige manier om hoëvlak-polinoom te faktoriseer, maar dit werk net as jy alreeds een van die wortels (of "nulle") ken. U kan dit vind deur factoring soos hierbo beskryf, of die probleem kan u een gee. Indien wel, gaan na die instruksies op die sintetiese afdeling. As jy geen wortels ken nie, gaan na die volgende stap om een te probeer vind.

Die wortel van `n polinoom is die waarde van x waarvoor y = 0. Ken `n wortel c gee jou ook `n polinoom faktor, ("x - c ").

Doen die rasionele wortels toets

1

Maak `n lys van die faktore van die konstante term. Die "rasionele wortels" toets is `n manier om te raai moontlike waardes van die wortel. Om mee te begin, Maak `n lys van al die faktore van die konstante (die term wat nie `n veranderlike het nie).
Voorbeeld: die polinoom ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ het die konstante term 9. Die faktore is 1, 3 en 9.
2

Maak `n lys van die faktore van die hoofkoëffisiënt. Dit is die koëffisiënt in die eerste termyn van die polinoom wanneer dit van die hoogste graad tot die laagste graad termyn georganiseer word. Maak `n lys van al die faktore van die nommer op `n aparte lyn.
Voorbeeld (vervolg): ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ Dit het `n hoofkoëffisiënt van 2. Die faktore is 1 en 2.
3

Soek moontlike wortels. As die veelterm het `n rasionele wortel (wat nie altyd gebeur nie), moet dit gelyk aan [ `n faktor van konstante] / [ `n faktor van die leidende koëffisiënt] ± wees. Slegs een nommer c in hierdie vorm mag in die faktor verskyn "(x - c) "van die oorspronklike polinoom.
Voorbeeld (vervolg): Enige rasionele wortel van hierdie polinoom is in die vorm [1, 3 of 9] gedeel deur [1 of 2]. Die moontlikhede sluit in ± 1/1, ± 1/2, ± 3/1, ± 3/2, ± 9/1 of ± 9/2. Moenie die "±" vergeet nie: elkeen van hierdie moontlikhede kan positief of negatief wees.
4

Toets die wortels totdat jy een vind wat pas. Dit is nie gewaarborg dat enige van hierdie `n wortel is nie, so jy moet hulle in die oorspronklike polinoom toets.
Voorbeeld: [1/1 = 1] is `n moontlike wortel. As dit blyk `n ware wortel te wees, moet dit in die polinoom vervang word.
${ displaystyle 2 (1) ^ {3} + (1) ^ {2} -12 (1) + 9 = 2 +1-12 +9 = 0}$ , so dit word bevestig dat dit `n wortel is.
Dit beteken dat die polinoom die faktor het "(x - 1) ".
As geen van die moontlikhede werk nie, het die polinoom geen rasionele wortels nie en kan dit nie verwerk word nie.

Sintetiese afdeling

1

Dit stel `n probleem van sintetiese afdeling voor. Die sintetiese afdeling is `n manier om al die faktore van `n polinoom te vind as jy alreeds een van hulle ken. Om die probleem vas te stel, skryf `n wortel van die polinoom. Trek `n vertikale lyn regs en skryf dan die polinoomkoëffisiënte wat van die eksponent van die hoogste graad na die laagste graad bestel is. (Jy hoef nie die terme self te skryf nie, net die koëffisiënte).
wel: Jy mag terme met `n koëffisiënt van nul invoer. Herskryf byvoorbeeld die polinoom ${ displaystyle x ^ {3} + 2x}$ as ${ displaystyle x ^ {3} + 0x ^ {2} + 2x + 0}$ .
Voorbeeld (vervolg): Die rasionele wortel toets wat hierbo genoem is, het vasgestel dat die polinoom ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ het die wortel 1.
Skryf die wortel 1 gevolg deur `n vertikale lyn en die polinoomkoëffisiënte:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 end {pmatrix}}}$
2

Verlaag die eerste koëffisiënt. Kopieer die eerste koëffisiënt oor die antwoordlyn. Laat `n leë lyn tussen die twee nommers om berekeninge later uit te voer.
Voorbeeld (vervolg): Laer die 2 na die antwoordlyn:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 end {pmatrix}}}$
3

Vermenigvuldig daardie nommer deur die wortel. Skryf die antwoord direk onder die volgende kwartaal, maar nie in die antwoordlyn nie.
Voorbeeld (vervolg): Vermenigvuldig die 2 deur die wortel om weer 2 te kry. Skryf daardie 2 in die volgende kolom, maar in die tweede ry in plaas van in die antwoordlyn:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 2 end {pmatrix}}}$
4

Voeg die inhoud van die kolom by om die volgende deel van die antwoord te kry. Die tweede kolom van koëffisiënte bevat nou twee getalle. Voeg hulle by en skryf die resultaat op die antwoordlyn direk hieronder.
Voorbeeld (vervolg): 1 + 2 = 3
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 23 end {pmatrix}}}$
5

Vermenigvuldig die resultaat deur die wortel. Soos jy voorheen gedoen het, vermenigvuldig die laaste getal in die antwoordlyn deur die wortel. Skryf jou antwoord onder die volgende koëffisiënt.
Voorbeeld (vervolg): 1 x 3 = 3:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23 23 end {pmatrix}}}$
6

Vind die som van die volgende kolom. Soos voorheen, voeg die twee nommers in die kolom by en skryf die resultaat in die antwoordlyn.
Voorbeeld (vervolg): -12 + 3 = -9:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23 23-9 end {pmatrix}}}$
7

Herhaal hierdie proses totdat jy die finale kolom bereik. Die laaste nommer in die antwoordlyn sal altyd nul wees. As jy enige ander resultaat kry, maak seker jou werk vir foute.
Voorbeeld (vervolg): Vermenigvuldig -9 deur die wortel 1, skryf die antwoord onder die finale kolom neer en bevestig dan dat die som van die finale kolom nul is:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23-9 23-90 end {pmatrix}}}$
8

Gebruik die antwoordlyn om nog `n faktor te vind. Nou het jy die polinoom verdeel tussen die term "(x - c) ", waar c is die faktor. Die antwoordlyn vertel jou die koëffisiënt van elke kwartaal in jou antwoord. Die deel van x van elke term het `n eksponent van een graad minder as die oorspronklike termyn direk daarop.
Voorbeeld (vervolg): Die antwoordlyn is 2 3 -9 0, maar jy kan die laaste nul ignoreer.
Omdat die eerste term van die oorspronklike polinoom `n ${ displaystyle x ^ {3}}$ , Die eerste kwartaal van jou antwoord is een graad hieronder: ${ displaystyle x ^ {2}}$ . Daarom is die eerste termyn ${ displaystyle 2x ^ {2}}$ .
Herhaal die prosedure om die antwoord te kry ${ displaystyle 2x ^ {2} + 3x-9}$ .
Nou het jy gefaktoriseer ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ in ${ displaystyle (x-1) (2x2 + 3x-9)}$ .
9

Herhaal indien nodig. Jy kan jou reaksie in kleiner gedeeltes met dieselfde metode van sintetiese afdeling verdeel. U kan egter `n vinniger metode gebruik om die probleem te voltooi. Byvoorbeeld, sodra jy `n kwadratiese uitdrukking het, kan jy dit faktor deur die kwadratiese formule te gebruik.
Onthou: om die metode van sintetiese verdeling te begin, moet jy `n wortel ken. Gebruik die rasionele wortels toets weer om dit te bekom. As geen van die moontlike wortels werk nie, kan die uitdrukking nie verreken word nie.
Voorbeeld (vervolg): U het die faktore gevind ${ displaystyle (x-1) (2x2 + 3x-9)}$ , maar die tweede faktor kan verder verdeel word. Toets die kwadratiese vergelyking, die tradisionele faktorisering of die sintetiese afdeling.
Die finale antwoord is ${ displaystyle (x-1) (x + 3) (2x-3)}$ , so die wortels van die polinoom is x = 1, x = -3 en x = 3/2.

wenke

Die terme wortels, nulle en oplossings verwys na die waardes van x wat maak f (x) = 0. Hulle kan wisselvallig gebruik word.
Die kubieke en kwartiese formules bestaan op `n soortgelyke wyse aan die kwadratiese formule, maar hulle is baie meer ingewikkeld en word nie dikwels gebruik nie, behalwe per rekenaar. Die vyfde graad- en hoërgraadpolinoom het nie `n algemene oplossing deur eenvoudige algebraïese tegnieke te gebruik nie, maar sommige voorbeelde kan gefaktoreer word deur die benaderings hierbo genoem.
Die reël van die Descartes-tekens sal jou nie die oplossing gee nie, maar jy kan voorspel hoeveel regte en unieke oplossings daar is. Volg hierdie stappe om uit te vind of jy al die moontlike oplossings gevind het:
Rangskik die polinoom van die hoogste tot die laagste graad:
${ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -2x ^ {2} + x + 1}$ .
Ignoreer die terme en skryf slegs hul tekens (positief of negatief):
+--++
Tel die aantal kere wat die tekens verander het van + na - of andersom, van links na regs:
Die volgorde + - + + verander twee keer twee keer.
Die aantal werklike oplossings is óf gelyk aan daardie getal of gelyk aan daardie getal minus 2n, waar n is `n heelgetal
In hierdie voorbeeld kan daar 2 oplossings wees of daar kan 0 wees.
In `n ander hipotetiese probleem waar die terme sewe keer verander, kan die aantal oplossings 7, 5, 3 of 1 wees.

waarskuwings

As jy `n denkbeeldige wortel te kry (en jy werk met `n probleem wat rekening hou met die denkbeeldige wortels), moenie vergeet dat daar `n nul in dat die getal en sy gekonjugeerde sal wees. Ja "(x - 3i) "dit is `n wortel, dit is ook" (x + 3i) ".

Wys meer ... (4)

Deel op sosiale netwerke:

Verwante