Hoe om polinoom van die tweede graad te kan faktor (kwadratiese vergelykings)
`N Polinoom bevat `n veranderlike (x) wat na `n krag (bekend as `n graad) en verskeie terme of konstantes geopper word. Om `n polinoom te faktoriseer beteken om die uitdrukking in `n kleiner een te ontbind met terme wat mekaar vermenigvuldig. Factoring is `n algebra wat ek vaardigheid of hoër is en daarom kan dit vir jou moeilik wees om te verstaan of jou wiskundevaardighede nie op die vlak is nie.
conținut
stappe
Basiese konsepte
1
Skryf die uitdrukking neer Die standaardvorm van `n kwadratiese vergelyking is:
byl + bx + c = 0
Begin deur die terme van die vergelyking van die grootste krag tot die kleinste te bestel, soos in die vorige formaat. Byvoorbeeld:
6 + 6x + 13x = 0
Herorganiseer die uitdrukking om werk makliker te organiseer die terme:
6x + 13x + 6 = 0
Begin deur die terme van die vergelyking van die grootste krag tot die kleinste te bestel, soos in die vorige formaat. Byvoorbeeld:
Herorganiseer die uitdrukking om werk makliker te organiseer die terme:
2
Vind die gefaktoriseerde vorm deur een van die onderstaande metodes te gebruik. Faktorering van die polinoom lei tot twee kleiner uitdrukkings wat vermenigvuldig om die oorspronklike polinoom te produseer:
6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x +2)
In hierdie voorbeeld is (2x +3) en (3x + 2) faktore van die oorspronklike uitdrukking, 6x + 13x + 6.
In hierdie voorbeeld is (2x +3) en (3x + 2) faktore van die oorspronklike uitdrukking, 6x + 13x + 6.
3
Gaan jou werk na! Vermenigvuldig die faktore van uitdrukking. Voeg dan die soortgelyke terme by en kyk. Begin met:
(2x + 3) (3x +2)
Kom ons kyk na dit, vermenigvuldig die terme in die volgende volgorde, eers vir die eerste, eerste teen die tweede, tweede vir die eerste en tweede vir die tweede wat ons gee:
6x + 4x + 9x + 6
Van hier af kan ons 4x en 9x voeg, aangesien dit soortgelyke terme is. Ons weet dat die faktore korrek is, want as ons werk, kry ons die aanvanklike vergelyking:
6x + 13x + 6
Kom ons kyk na dit, vermenigvuldig die terme in die volgende volgorde, eers vir die eerste, eerste teen die tweede, tweede vir die eerste en tweede vir die tweede wat ons gee:
Van hier af kan ons 4x en 9x voeg, aangesien dit soortgelyke terme is. Ons weet dat die faktore korrek is, want as ons werk, kry ons die aanvanklike vergelyking:
Metode 1
Proef en fout
As jy `n redelike eenvoudige polinoom het, kan jy die faktore met net `n oogopslag ontdek. Byvoorbeeld, met `n bietjie oefening weet baie wiskundiges dat die uitdrukking 4x + 4x + 1 het slegs faktore van (2x + 1) en (2x + 1) omdat hulle dit al baie keer gesien het. Dit is natuurlik nie so maklik met meer ingewikkelde polinoom nie. Vir hierdie voorbeeld, laat ons `n minder algemene uitdrukking gebruik:
1
Lys die faktore van die term a en c. Gebruik die formaat byl + bx + c = 0, identifiseer die terme a en c en lys die faktore daarvan. Vir 3x + 2x - 8, dit beteken:
a = 3 en het `n enkele stel faktore: 1 * 3
c = -8 en het vier stelle faktore: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, en -1 * 8.
2
Skryf twee stelle hakies met `n leë spasie. In die oop spasie plaas jy die konstantes van elke uitdrukking.
(x) (x)
3
Vul die spasies in met `n paar moontlike waarde faktore a. Vir die kwartaal Volgens ons voorbeeld (3x) is daar net een moontlikheid:
(3x) (1x)
4
Vul die spasies voor die x in, met `n paar faktore vir die konstantes. Kom ons veronderstel dat ons 8 en 1 gekies het. Ons skryf:
(3x 8) (x 1)
5
Besluit watter teken (min of meer) tussen die x en die getalle moet ingaan. Op grond van die tekens van die oorspronklike uitdrukking is dit moontlik om te ontdek watter tekens die konstantes moet hê. Kom ons noem die twee konstantes van ons faktore k en h:
As byl + bx + c dan (x + h) (x + k)
As byl - bx - c of byl + bx - c dan (x - h) (x + k)
As byl - bx + c dan (x - h) (x - k) Vir ons voorbeeld, 3x + 2x - 8, moet die tekens wees: (x - h) (x + k), wat ons die faktore gee:
(3x + 8) en (x - 1)
6
Gaan die oefening deur die vermenigvuldiging op te los. `N Vinnige toets om te kyk is om te sien of die middeltermyn die korrekte waarde het. Indien nie, kan u die verkeerde faktore van c. Kom ons kyk na die oefening:
(3x + 8) (x - 1)
Vermenigvuldig, ons kry dit:
3x - 3x + 8x - 8
Vereenvoudig hierdie uitdrukking deur die soortgelyke terme (-3x) en (8x) wat ons kry, by te voeg:
3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Nou weet ons dat ons die verkeerde faktore gebruik:
3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Vermenigvuldig, ons kry dit:
Vereenvoudig hierdie uitdrukking deur die soortgelyke terme (-3x) en (8x) wat ons kry, by te voeg:
Nou weet ons dat ons die verkeerde faktore gebruik:
7
Verander jou antwoord indien nodig. Volg ons voorbeeld, probeer ons 2 en 4 in plaas van 1 en 8:
(3x + 2) (x - 4)
Nou ons termyn c is -8, maar die produk van (3x * -4) en (2 * x) is -12x en 2x, wat byvoeging nie ons die korrekte term van b (+ 2x).
-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Nou ons termyn c is -8, maar die produk van (3x * -4) en (2 * x) is -12x en 2x, wat byvoeging nie ons die korrekte term van b (+ 2x).
8
Omkeer die bestelling indien nodig. Kom ons probeer om die 2 en 4 te beweeg.
(3x + 4) (x - 2)
Nou, ons termyn c (4 * 2 = 8) is steeds korrek, maar die res van die vermenigvuldiging lei tot -6x en 4x. As ons hulle byvoeg:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x
Ons was baie naby aan die 2x b, maar dit het die verkeerde teken.
Nou, ons termyn c (4 * 2 = 8) is steeds korrek, maar die res van die vermenigvuldiging lei tot -6x en 4x. As ons hulle byvoeg:
Ons was baie naby aan die 2x b, maar dit het die verkeerde teken.
9
Kyk weer na die tekens indien nodig. Ons gaan die getalle in dieselfde volgorde gebruik, maar laat ons die minusteken verander:
(3x - 4) (x + 2)
Nou, ons termyn c is steeds korrek, maar die res van die vermenigvuldiging gee ons die resultaat (6x) en (-4x). sedert:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Nou vind ons die 2x van die oorspronklike vergelyking. Dit moet die regte faktore wees.
Nou, ons termyn c is steeds korrek, maar die res van die vermenigvuldiging gee ons die resultaat (6x) en (-4x). sedert:
Metode 2
ontbinding
Hierdie metode identifiseer alle moontlike faktore van die terme a enc en gebruik hulle om te ontdek wat die regte faktore behoort te wees. As jy met baie groot getalle werk of as ander metodes van veronderstelling te lank lyk, gebruik hierdie metode. Ons gaan die volgende voorbeeld gebruik:
1
Vermenigvuldig die term tot die termyn c. In ons voorbeeld, a is 6 en c is ook 6.
6 * 6 = 36
2
Kry die term b Faktore en toetsing. Ons is op soek na twee getalle wat faktore van die produk is a * c en wat opgesom word gee ons die term b (13).
4 * 9 = 36
4 +9 = 13
3
Vervang die twee getalle in die vergelyking as die som van die term b. Kom ons gebruik h en k om die twee getalle voor te stel wat ons verkry het, 4 en 9:
byl + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
4
Faktor die polinoom deur te groepeer. Organiseer die vergelyking sodat jy die hoogste algemene faktor (MCD) van die eerste twee en die laaste twee terme kan faktoriseer. Die twee factored terme moet dieselfde wees. Voeg die GCF by en heg dit tussen hakies langs die factoring groep in. Die resultaat sal jou twee faktore wees:
6x + 4x + 9x + 6
2x (3x +2) +3 (3x +2)
(2x + 3) (3x +2)
Metode 3
Triple game
Soortgelyk aan die ontbinding metode, die drie-rigting metode ondersoek die moontlike faktore van die produk van die terme a en c om die moontlike waarde van b. Beskou die volgende vergelyking as `n voorbeeld:
1
Vermenigvuldig die term tot die termyn c. Soos in die ontbindingsmetode, sal dit ons help om die moontlike waardes van die term te identifiseer b. In hierdie voorbeeld, a is 8 en c is 2
8 * 2 = 16
2
Vind twee getalle waarvan die produk gelyk is aan hierdie getal en wie se som gelyk is aan die term b. Hierdie stap is identies aan die ontbindingsmetode, ons probeer getalle vir die konstantes weggooi. Die produk van die terme a en c is 16, terwyl die som gelyk is aan 10:
2 * 8 = 16 8 +2 = 10
3
Neem die twee nommers en vervang hulle in die formule van die drievoudige spel. Neem die twee getalle uit die vorige stap (laat ons hulle noem h en k) en vervang dit in die uitdrukking:
((byl + h) (byl + k)) / a
Op hierdie manier kry ons:
(8x + 8) (8x + 2)) / 8
Op hierdie manier kry ons:
4
Let op watter van die twee terme in die teller is heeltemal deelbaar a. In hierdie voorbeeld, laat ons toets of (8x + 8) of (8x + 2) deur 8 gedeel kan word. (8x + 8) is deelbaar met 8, dus deel ons daardie term by a en ons verlaat die ander ongeskonde.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Die term wat ons gaan gebruik, is die een wat oorbly nadat ons tussen die termyn verdeel het a: (x + 1)
Die term wat ons gaan gebruik, is die een wat oorbly nadat ons tussen die termyn verdeel het a: (x + 1)
5
Vind die grootste algemene faktor (MCD) van een of beide terme. In hierdie voorbeeld het die tweede term `n GCF van 2, aangesien 8x + 2 = 2 (4x + 1). Sluit aan by die antwoord met die term wat u in die vorige stap geïdentifiseer het. Dit is die faktore van die vergelyking.
2 (x + 1) (4x + 1)
Metode 4
Verskil van twee blokkies
Sommige koëffisiënte van polinoom word geïdentifiseer as "blokkies" of as die produk van twee getalle. Identifisering van blokkies kan facturering van sommige polinoom baie vinniger maak. Kom ons kyk na die vergelyking:
1
Indien moontlik, faktor die grootste algemene faktor. In hierdie geval sien ons dat beide 27 en 12 deelbaar is met 3, sodat ons dit faktoreer:
27x - 12 = 3 (9x - 4)
2
Bepaal of die koëffisiënte van die vergelyking vierkantgetalle is. Om hierdie metode te gebruik, moet jy die vierkantswortel in beide terme kan toepas en `n heelgetal kan kry (hou in gedagte dat ons die negatiewe tekens uitgelaat het, aangesien die getalle kwadraat kan die gevolg wees van die produk van twee positiewe of negatiewe getalle) .
9x = 3x * 3x en 4 = 2 * 2
3
Met die vierkantige wortels wat jy net geïdentifiseer het, skryf die faktore. Ons neem die waardes van a en c van die vorige stap- a = 9 y c = 4, dan pas ons vierkantswortel toe √a = 3 en √c = 2. Dit is die koëffisiënte vir die gefaktoreerde uitdrukkings:
27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metode 5
Kwadratiese formule
As niks werk nie en jy nie die vergelyking kan faktor nie, gebruik die kwadratiese formule. Kyk na die volgende voorbeeld:
1
Vervang die ooreenstemmende waardes in die kwadratiese formule:
x = -b ± √ (b - 4ac) ---------------------
die 2de
Ons kry die uitdrukking:
x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
die 2de
Ons kry die uitdrukking:
2
Los op om x te vind. Aan die einde kry jy twee waardes van x. Soos gesien kan word, word twee antwoorde verkry:
x = -2 + √ (3) of x = -2 - √ (3)
3
Gebruik die waarde van x om die faktore te vind. Vervang die waardes wat u van x gekry het as die konstantes in twee polinoom uitdrukkings. Dit sal die faktore wees. As ons die twee waardes van x as noem h en k, ons skryf die faktore soos volg:
(x - h) (x - k)
In hierdie geval is die finale antwoord:
(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))
In hierdie geval is die finale antwoord:
Metode 6
Met `n sakrekenaar
As jy dit mag gebruik, vereenvoudig `n grafiese sakrekenaar die factoringproses, veral in standaardtoetse. Hierdie instruksies is vir `n TI grafiese sakrekenaar (vervaardig deur Texas Instruments). Ons sal die volgende vergelyking as voorbeeld gebruik:
1
Gee die vergelyking in die sakrekenaar. U sal die resolusie van vergelykings, ook bekend as die skerm [Y =], gebruik.
2
Teken die vergelyking met die sakrekenaar. Sodra die vergelyking ingeskryf is, druk die [GRAPH] sleutel en `n sagte boog sal verskyn wat die vergelyking voorstel (dit moet `n boog wees, want ons werk met polinoom).
3
Vind die punt waar die boog die x-as sny. Aangesien polinoomvergelykings normaalweg in die vorm ax + bx + c = 0 geskryf word, is dit die twee waardes van x wat veroorsaak dat die uitdrukking gelyk is aan 0:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
4
Vervang die waardes wat u van x in die vorige stap verkry het in twee faktoriale uitdrukkings. As ons die twee waardes van x as noem h en k, die uitdrukking wat ons sal gebruik sal wees:
(x - h) (x - k) = 0
Daarom moet die twee faktore wees:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Daarom moet die twee faktore wees:
wenke
- As jy `n TI-84 (grafiese) sakrekenaar het, is daar `n program genaamd SOLVER om kwadratiese vergelykings op te los. Dit dien ook om polinoom van enige ander graad op te los.
- As `n term nie bestaan nie, is die koëffisiënt 0. Dit is nuttig om die vergelyking te herskryf indien die situasie voorkom, byvoorbeeld x + 6 = x + 0x + 6.
- As u die polinoom met behulp van die kwadratiese formule geaktiveer het en die antwoord in radikale verkry het, kan u die waardes van x omskep in breuke om die verifikasie makliker te verrig.
- As die term geen skriftelike koëffisiënt het nie, is die koëffisiënt 1, byvoorbeeld, x = 1x.
- Met `n paar oefeninge kan jy polinome mentaal faktoriseer. Maar tot dan, moet jy altyd die antwoord skryf.
waarskuwings
- As jy die konsep van factoring in jou wiskunde klas gaan leer, let op wat die onderwyser sê en gebruik nie net jou gunsteling metode nie. Jou onderwyser kan jou vra om `n spesifieke metode in die eksamen te gebruik of mag nie die gebruik van grafiese sakrekenaars toelaat nie.
Dinge wat jy nodig het
- potlood
- papier-
- kwadratiese vergelyking (of tweedegraadse polinoom)
- grafiese sakrekenaar (opsioneel).
Deel op sosiale netwerke:
Verwante
Hoe om polinoom te vermenigvuldig
Hoe om polinoom te onderskei
Hoe om polinoom te verdeel
Hoe om die graad van `n polinoom te vind
Hoe om op die standaard manier te skryf
Hoe om trinome te faktoriseer
Hoe om algebraïese vergelykings te faktoriseer
Hoe om `n kubieke polinoom te faktoriseer
Hoe skuins asimptote te vind
Hoe om `n simmetrie-as te vind
Hoe kwadratiese vergelykings op te los
Hoe om rasionele vergelykings op te los- Hoe om polinome van hoër grade op te los
Hoe om `n kubieke vergelyking op te los
Hoe om `n herhalingsverhouding op te los- Hoe om rasionele uitdrukkings te vereenvoudig
Hoe om `n wiskundige rede te vereenvoudig
Hoe om algebraïese uitdrukkings te vereenvoudig
Hoe om wiskundige uitdrukkings te vereenvoudig
Hoe om te skakel na ekwivalente breuke
Hoe om die wortels van `n tweede graad vergelyking te vind
Hoe om polinoom te onderskei
Hoe om polinoom te verdeel
Hoe om die graad van `n polinoom te vind
Hoe om op die standaard manier te skryf
Hoe om trinome te faktoriseer
Hoe om algebraïese vergelykings te faktoriseer
Hoe om `n kubieke polinoom te faktoriseer
Hoe skuins asimptote te vind
Hoe om `n simmetrie-as te vind
Hoe kwadratiese vergelykings op te los