Hoe om `n kwadratiese vergelyking te vergelyk

Wanneer grafieke, die kwadratiese vergelykings van die vorm byl + bx + c

conținut

Stappe
Wenke

of a (x - h) + k, vorm `n U-vormige kromme of inverse U-kromme parabool. Om `n kwadratiese vergelyking te grafeer, is om sy hoekpunt, rigting en gewoonlik sy afsnitte op sy asse (x, y) te vind. As dit `n relatief eenvoudige kwadratiese vergelyking is, kan dit genoeg wees om `n tabel met waardes van x te skep om die kromme met die gevolglike punte te plot. Sien stap 1 hieronder om te begin.

stappe

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 1

Identifiseer die tipe kwadratiese funksie waarmee u sal werk. Die kwadratiese vergelyking kan op 3 maniere geskryf word: die ontwikkelde vorm, die kanonieke vorm en die gefaktoriseerde vorm. U kan enige van die 3 maniere gebruik om die kwadratiese vergelyking te grafiseer - maar die proses om elkeen te plot, wissel effens. As jy `n skoolopdrag gaan doen, sal jy gewoonlik die probleem op een van die volgende twee maniere kry. Met ander woorde, jy sal nie kan kies nie, daarom is dit beter om albei metodes te verstaan. Die twee vorme van die kwadratiese vergelyking is:

Ontwikkelde vorm. In hierdie vorm word die kwadratiese vergelyking geskryf as f (x) = ax + bx + c- waar a, b en c reële getalle is en a verskil van 0.

Byvoorbeeld, twee ontwikkelde vorme van kwadratiese vergelyking is: f (x) = x + 2x + 1 en f (x) = 9x + 10x -8.

Kanonieke vorm. In hierdie vorm word die kwadratiese vergelyking geskryf as: f (x) = a (x - h) + k- waar a, hyk is reële getalle en verskil van 0. Die kanonieke vorm is ook bekend as die verteksvorm sedert Hyk hulle gee jou direk die hoekpunt (sentrale punt) van die parabool by die punt (h, k).

Twee kanoniese vergelykings is f (x) = 9 (x - 4) + 18 en -3 (x - 5) + 1.

Om enige van hierdie soort vergelykings te vergelyk, vind eers die hoekpunt van die parabool, wat die middelpunt (h, k) aan die einde van die kromme is. Die koördinate van die hoekpunt in die ontwikkelde vorm word gegee deur: h = -b / 2a en k = f (h), terwyl in die kanonieke vorm h en k in die vergelyking gespesifiseer word.

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 2

Definieer die veranderlikes. Ten einde die kwadratiese vergelyking op te los, moet die veranderlikes a, b en c (of a, h, en k) oor die algemeen gedefinieer word. Gewoonlik word die waardes van die veranderlikes in die wiskundeprobleme gegee, gewoonlik in `n ontwikkelde vorm, maar soms ook in die kanonieke vorm.

Byvoorbeeld, vir die ontwikkelde vergelyking f (x) = 2x + 16x + 39, het ons a = 2, b = 16 en c = 39.

Vir die kanonieke vorm f (x) = 4 (x - 5) + 12, het ons a = 4, h = 5, en k = 12.

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 3

Bereken h. In die kanoniese vergelykings word die waarde vir h reeds gegee, maar in die vergelykings van ontwikkelde vorm moet dit bereken word. Onthou, vir vergelykings van ontwikkelde vorm, h = -b / 2a.

In ons ontwikkelde vormvergelyksvoorbeeld het ons dit (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Oplossing, ons vind dat h = -4.

In ons voorbeeld van kanonieke vorm (f (x) = 4 (x - 5) + 12) weet ons dat h = 5, sonder om enige wiskundige werking te doen.

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 4

Bereken k. Dieselfde as met h, k is `n gegewe waarde in kanonieke vergelykings. Vir die vergelykings in ontwikkelde vorm, onthou dat k = f (h). Met ander woorde, jy kan k vind deur elke waarde van x in die vergelyking te vervang met die waarde wat jy van h gekry het.

In ons voorbeeld is die waarde van h = -4. Om k te vind, los ons die vergelyking op deur x met die waarde van h te vervang:

k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.

k = 2 (16) - 64 +39.

k = 32 - 64 + 39 = 7.

In ons voorbeeld in kanonieke vorm weet ons reeds die waarde van k (wat is 12) sonder om enige wiskundige werking te doen.

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 5

Teken die hoekpunt. Die punt van die parabool sal die punt wees (h, k) - h spesifiek die koördinaat van x, terwyl k die koördinaat van y spesifiseer. Die hoekpunt is die middelpunt van die parabool, óf die onderste deel van a "U" of die verre einde van `n "U" omgekeerde. Om die waarde van die hoekpunt te ken, is van groot belang om `n parabool akkuraat te grafiseer, gewoonlik in skooltaak. Die vraag word gevra om die hoekpunt te spesifiseer.

In ons voorbeeld in ontwikkelde vorm is ons hoekpunt (-4, 7). Daarom het die parabool sy maksimum punt vier spasies aan die linkerkant van 0 en 7 spasies bo die punt (0, 0). Hierdie punt moet op die grafiek geteken word, maak seker dat die koördinate geperk word.

In ons kanonieke voorbeeld is die hoekpunt by punt (5, 12). Ons moet `n punt 5 spasies regs en 12 spasies bo die punt teken (0, 0).

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 6

Teken die simmetriese as van die parabool (opsioneel). Die simmetrie-as van `n parabool is die lyn wat dit in die helfte kruis en wat die parabool in twee gelyke dele verdeel. Deur hierdie as sal die linkerkant van die parabool `n weerspieëling wees van die linkerkant daarvan. Vir vergelykings van die vorm ax + bx + c of a (x - h) + k, is die as `n lyn ewewydig aan die y-as (dit wil sê heeltemal vertikaal) wat deur die verte kruis.

In ons voorbeeld, met die geval in ontwikkelde vorm, is die as `n lyn parallel aan die x-as wat die punt oorskry (-4, 7). Alhoewel dit nie deel van die gelykenis is nie, kan die lyn swak op hierdie grafiek op u grafiek merk, sodat u kan sien hoe die paraboolkrommes simmetries is.

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 7

Vind die opening adres. Nadat ons die vertex en simmetriese as van die parabool gevind het, moet ons weet of die parabool op en af oopmaak. Gelukkig is dit `n eenvoudige prosedure. indien "om" is positief, die parabool sal oopmaak, maar as "om" is negatief, die parabool sal afwaarts oopmaak (dit wil sê, dit sal `n omgekeerde U-vorm hê).

In ons ontwikkelde vergelyking voorbeeld (f (x) = 2x + 16x + 39), weet ons dat die parabool oopmaak omdat in die vergelyking a = 2 (positief).

In ons kanoniese vergelyking voorbeeld (f (x) = 4 (x - 5) + 12) weet ons dat die parabool weer oopmaak omdat a = 4 (positief).

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 8

Indien nodig, vind en sny die afsnitte van x. Gewoonlik word u in take gevra om die afsnitte van x (wat is een of twee punte waar die parabool die x-as sny). Selfs as jy hulle nie gaan vind nie, kan hierdie twee punte van onskatbare waarde wees as dit gaan om die presiese parabool. Egter nie alle parabolas het afsnitte in x nie. As die parabool `n hoek het wat bo die x-as oopmaak of as dit oopmaak en sy hoekpunt onder die x-as het, jy sal nie `n afsnit in x hê nie. Andersins, los die afsnitte van x op met een van die volgende metodes:

Los eenvoudig f (x) = 0 op en los die vergelyking op. Hierdie metode kan werk vir eenvoudige kwadratiese vergelykings (veral in kanonieke vorm), maar dit is uiters moeilik om in meer komplekse vergelykings toe te pas. Sien `n voorbeeld hieronder:

f (x) = 4 (x - 12) - 4

0 = 4 (x - 12) - 4

4 = 4 (x - 12)

1 = (x - 12)

Vierkantswortel (1) = (x - 12)

+/ - 1 = x -12. x = 11 en 13 hulle is die afsnitte in x van die parabool.

Faktor die vergelyking. Sommige vergelykings te vorm ax + bx + c kan maklik wortelvorm (dx + e) (fx + g) waar dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c. In hierdie geval is die afsnitte in x die waardes van x waarvoor die waardes binne die hakies gelyk is aan 0. Byvoorbeeld:

x + 2x + 1

= (x +1) (x + 1)

In hierdie geval is die enigste afsnit in x -1 omdat die vervanging van x met -1 elk van die terme wat tussen hakies uitgevoer word, gelyk is aan 0.

Gebruik die kwadratiese formule. As jy nie die afsnitte van x maklik kan oplos nie, of as jy nie die vergelyking kan faktor nie, gebruik `n spesiale vergelyking, genaamd die kwadratiese formule wat vir hierdie doel ontwerp is. As dit nie in ontwikkelde vorm is nie, los die vergelyking op sodat dit van die vorm ys + bx + c is en vervang dan a, b en c in die formule x = (-b +/- vierkantswortel (b - 4ac)) / 2a. Let daarop dat dit gewoonlik twee antwoorde vir x gee, wat goed is, dit beteken net dat die parabool twee afsnitte in x het. Sien die volgende voorbeeld:

-5x + 1x + 10 word soos volg in die kwadratiese formule vervang:

x = (-1 + / - (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)

x = (-1 + / - vierkantswortel (1 + 200)) / - 10

x = (-1 + / - vierkantswortel (201)) / - 10

x = (-1 + / - 14,18) / - 10

x = (13,18 / -10) en (-15,18 / -10). Die afsnitte in x van die parabool is ongeveer x = -1318 en 1518

Die vorige voorbeeld, 2x + 16x + 39, word soos volg in die kwadratiese formule vervang:

x = (-16 + / - vierkantswortel (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)

x = (-16 + / - vierkantswortel (256 - 312)) / 4

x = (-16 + / - vierkantswortel (-56) / - 10

Omdat dit onmoontlik is om die vierkantswortel van `n negatiewe getal te vind, weet ons dit daar is geen afsnitte in x nie vir hierdie gelykenis in die besonder.

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 9

Indien nodig, vind en spoor die y afsnitte. Alhoewel dit gewoonlik nie nodig is om die afsnitte van y in die vergelyking te vind nie (die punt waar die parabool die y-as sny), word u gevra om dit te doen, veral in skoolwerk. Die proses is redelik eenvoudig, net gelyk aan x = 0, en los dan die vergelyking vir f (x) of y op, wat die waarde van y gee waarin die parabool die y-as raak. Anders as afsnitte in x, kan ontwikkelde parabolas slegs `n afsnit in y hê. Let wel: vir vergelykings van ontwikkelde vorm is die y-afsnit op die punt y = c.

Ons weet byvoorbeeld dat ons kwadratiese vergelyking 2x + 16x + 39 `n afsnit in y = 39 het, maar dit kan ook op die volgende manier gevind word:

f (x) = 2x + 16x + 39

f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39

f (x) = 39. Die afsnit in en van die parabool is in die punt y = 39. Soos hierbo genoem, is die afsnit in y gelyk aan y = c.

Ons vergelyking van kanonieke vorm 4 (x - 5) + 12, het `n onderskep en dit kan op die volgende manier gevind word:

f (x) = 4 (x - 5) + 12

f (x) = 4 (0 - 5) + 12

f (x) = 4 (-5) + 12

f (x) = 4 (25) + 12

f (x) = 112. Die afsnit in en van die parabool is in die punt y = 112.

Prent getiteld Grafiek `n Kwadratiese vergelyking Stap 10

Indien nodig, teken addisionele punte, dan grafiek. Nou moet jy die hoekpunt, die rigting, die afsnit (s) in x en moontlik `n afsnit in die kwadratiese vergelyking hê. Op hierdie punt kan jy probeer om die parabool te teken deur gebruik te maak van die punte wat jy as `n gids het, of jy kan meer punte kry "vul" die parabool en teken `n meer presiese kromme. Die maklikste manier om dit te doen is om net enkele waardes in x aan weerskante van die hoekpunt te vervang, en teken dan hierdie punte aan deur die waardes wat u van y kry. Oor die algemeen vra onderwysers jou om `n sekere aantal punte te kry voordat jy die parabool teken.

Kom ons kyk na die vergelyking x + 2x + 1. Ons weet reeds dat sy enigste onderskepping by x = -1 is. Omdat die afsnit van x slegs `n punt raak, kan ons die hoekpunt aflei is sy afsnit in x, wat beteken dat die hoekpunt in die punt is (-1, 0). Inderdaad, ons het net een punt vir hierdie gelykenis, ons het nie genoeg data om `n goeie grafiek te maak nie. Kom ons vind nog `n paar punte om `n akkurate grafiek te kan teken.

Kom ons vind die waardes van y vir die volgende waardes van x: 0, 1, -2 en -3.

Vir 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Ons punt is (0.1).

Vir 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Ons punt is (1.4).

Vir -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Ons punt is (-2,1).

Vir -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Ons punt is (-3,4).

Plot hierdie punte op die grafiek en trek die U-vormige kurwe Let daarop dat die gelykenis is perfek simmetriese, as jy `n hele kant van die parabool getalle, kan jy `n geruime tyd om punte regoor die as reflekteer red simmetries van dit, met hierdie vind jy die ooreenstemmende punt aan die ander kant van die parabool.

wenke

Rond die getalle of gebruik breuke as jou onderwyser jou vertel om dit te doen. Dit sal u help om die kwadratiese vergelykings korrek te vergelyk.
Let daarop dat in f (x) = ax + bx + c- as b of c gelyk is aan 0, verdwyn die getalle. Byvoorbeeld, 12x + 0x + 6 word 12x + 6 omdat 0x gelyk is aan 0.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante