Hoe kwadratiese vergelykings op te los

`N Kwadratiese (of tweede graad) vergelyking is `n polinoomvergelyking in `n eenvoudige variant waar maksimum krag van die veranderlike is 2. Daar is drie hoof maniere om kwadratiese vergelykings op te los: 1) faktoriseer die vergelyking (indien moontlik), 2 ) gebruik die kwadratiese formule, of 3) voltooi die vierkant. As jy wil leer om hierdie drie metodes te bemeester, moet jy net die volgende stappe volg.

conținut

Stappe
Metode 1
Metode 2
Metode 3
Wenke

stappe

Metode 1

Faktor die vergelyking

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op Stap 1

Kombineer alle soortgelyke terme en omskep hulle na een kant van die vergelyking. Die eerste stap om `n vergelyking te faktor, is om al die terme na een kant van die vergelyking te vervoer, en hou die term positief

{ displaystyle x ^ {2}}

. Om die terme te kombineer, voeg al die terme by of trek dit af

{ displaystyle x ^ {2}}

, die terme

{ displaystyle x}

, en die konstantes (hele terme), vervoer hulle na een kant van die vergelyking totdat daar niks aan die ander kant oorbly nie. As jy eers die oorblywende terme oorskry, skryf eenvoudig "0" aan die kant van die gelykteken (=). Hier is hoe jy dit moet doen:

${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x2}$
${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
${ displaystyle 3x ^ {2} -11x-4 = 0}$

Prent getiteld Los Kwadratiese Vergelykings Stap 2

Faktoreer die uitdrukking. Om die uitdrukking te faktoriseer, moet u die term faktore gebruik

{ displaystyle x ^ {2}}

(3) en die konstante termefaktore (-4) vermenigvuldig en voeg dan by die middeltermyn (-11). Hier is hoe jy dit moet doen:

gegee dat

{ displaystyle 3x ^ {2}}

dit het net `n stel moontlike faktore,

{ displaystyle 3x}

{ displaystyle x}

U kan dit tussen hakies plaas:

{ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}

Voer dan `n wegdoenproses uit om die faktore van 4 te vervang en vind `n kombinasie wat, wanneer vermenigvuldig, resultate in "-11x" bevat. Jy kan kombinasies gebruik: 4 en 1, of 2 en 2, sedert vermenigvuldig beide verkry 4. Onthou net dat een van die terme negatief moet wees, aangesien die term is -4.

Doen verskeie toetse, begin met hierdie kombinasie van faktore:

{ displaystyle (3x +1) (x-4)}

.. As jy hulle vermenigvuldig, sal jy kry:

{ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x-4}

. As jy die terme kombineer

{ displaystyle -12x}

{ displaystyle x}

, dit gee jou

{ displaystyle -11x}

, wat is die gemiddelde term wat ons soek. Hiermee het jy die vergelyking net gevoer.

As `n voorbeeld van toets, probeer om `n factoring kombinasie vir

{ displaystyle 3x ^ {2} -11x-4 = 0}

maak dit `n fout (werk nie):

{ displaystyle (3x-2) (x + 2)}

{ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}

. As jy hierdie terme kombineer, kry jy:

{ displaystyle 3x ^ {2} -4x-4}

. Alhoewel ons die faktore -2 en 2 vermenigvuldig, kry ons -4, die middeltermyn werk nie omdat ons nodig het om te verkry nie

{ displaystyle -11x}

, en nie

{ displaystyle -4x}

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op Stap 3

Pas elke stel tussen hakies ooreen met nul as aparte vergelykings. Sodoende vind u twee waardes vir

{ displaystyle x}

wat die hele vergelyking ewe nul sal maak

{ displaystyle (3x +1) (x-4)}

= 0. Noudat die vergelyking in berekening gebring word, moet jy die uitdrukking in elke stel hakies gelyk aan nul stel. Maar hoekom? Omdat ons nul deur vermenigvuldiging te verkry, het ons die "beginsel, reël of eiendom" dat `n faktor nul moet wees, dan is minstens een van die faktore tussen hakies, soos

{ displaystyle (3x +1) (x-4)}

moet nul wees (3x + 1) of goed (x - 4) moet gelyk wees aan nul. Daarom is dit geskryf

{ displaystyle 3x + 1 = 0}

en ook

{ displaystyle x-4 = 0}

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op Stap 4

Los elke "nul" vergelyking onafhanklik op. In `n tweedegraadse vergelyking sal daar twee moontlike waardes vir "x" wees. Vind x vir elke moontlike waarde van x een vir een deur die veranderlike te isoleer en skryf beide waardes vir x as die finale oplossing. Hier is hoe jy dit moet doen:

Los 3x + 1 = 0 =

3x = -1 ... aftrek

3x / 3 = -1/3 ... verdeel

x = -1/3 ... vereenvoudig

Los x - 4 = 0 op

x = 4 aftrek

x = (-1/3, 4) ... `n stel moontlike, afsonderlike oplossings, dws x = -1/3, of x = 4 lyk goed.

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op Stap 5

Kontroleer x = -1/3 in (3x +1) (x - 4) = 0:

Jy het (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0 ..... vervang (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... vereenvoudiging (0) (- 4 1/3) = 0 ..... dus vermenigvuldig 0 = 0 ..... Ja, x = -1/3 werk.

Prent getiteld Los Kwadratiese Vergelykings Stap 6

Kontroleer x = 4 in (3x +1) (x - 4) = 0:

Het jy (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... vervang (13) (4 - 4)? =? 0 ..... vereenvoudiging (13) (0) = 0 ..... vermenigvuldiging 0 = 0 ..... Ja, x = 4 werk

Daarom word beide oplossings afsonderlik nagegaan, en verifieer dat beide werk en dat hulle reg is vir twee verskillende oplossings.

Metode 2

Gebruik die kwadratiese formule

Prent getiteld Los Kwadratiese Vergelykings Stap 7

Kombineer alle soortgelyke terme en omskep hulle na een kant van die vergelyking. Vervoer alle terme aan een kant van die gelykteken (=), hou die term positief

{ displaystyle x ^ {2}}

. Skryf die terme in dalende volgorde van grade sodat die term "

{ displaystyle x ^ {2}}

kom eers, gevolg deur die term "x" en die konstante term. Hier is hoe jy dit moet doen:

4x - 5x - 13 = x -5
4x - x - 5x - 13 +5 = 0
3x - 5x - 8 = 0

Prent getiteld Los Kwadratiese Vergelykings Stap 8

Skryf die kwadratiese formule. Die kwadratiese formule is die volgende:

{ Display { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2}}}} {-4ac die 2de}}}

Prent getiteld Los Kwadratiese Vergelykings Stap 9

Identifiseer die waardes van "a", "b" en "c" in die tweede graadvergelyking. Die veranderlike "`n "is die koëffisiënt van die term" x ", die"b "is die koëffisiënt van die term" x ", en die"c "is die konstante. Vir die vergelyking: 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, en c = -8. Skryf dit alles

Prent getiteld Los Kwadratiese Vergelykings Stap 10

Vervang die waardes van "a", "b" en "c" in die vergelyking. Noudat jy die waardes van die drie veranderlikes het, vervang dit soos volg in die vergelyking:

{-b +/- √ (b - 4ac)} / 2

{- (- 5) +/- √ ((-5) - 4 (3) (- 8))} / 2 (3) =

{- (- 5) + / - √ ((-5) - (-96))} / 2 (3)

Prent getiteld Los Kwadratiese Vergelykings Stap 11

Maak jou berekeninge. Nadat u die nommers vervang het, voer die oorblywende berekeninge uit om die positiewe of negatiewe tekens te vereenvoudig. Vermenigvuldig of vier die oorblywende terme. Hier is hoe jy dit moet doen:

{- (- 5) + / - √ ((-5) - (-96))} / 2 (3) =

(5 + / - √ (25 + 96)} / 6

(5 + / - √ (121)} / 6

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op Stap 12

Vereenvoudig die vierkantswortel. As die getal onder die radikale simbool `n perfekte vierkant is, sal jy `n hele getal kry. As dit nie die geval is nie, vereenvoudig dit dan die eenvoudigste radikale weergawe. As dit negatief is, en jy is seker dat dit negatief moet wees, dan sal die wortels kompleks wees. Vir die volgende voorbeeld: √ (121) = 11, kan jy skryf: x = (5 +/- 11) / 6.

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op Stap 13

Vind twee antwoorde As jy die simbool vir die vierkantswortel uitgeskakel het, kan jy voortgaan totdat jy beide waardes (positief en negatief) vir "x" vind. Noudat jy: (5 +/- 11) / 6 het, kan jy twee opsies skryf:

(5 +11) / 6

(5 - 11) / 6

Prent getiteld Los Kwadratiese Vergelykings op Stap 14

Kry albei antwoorde (een positief en een negatief). Voer die volgende berekeninge uit:

(5 +11) / 6 = 16/6

(5-11) / 6 = -6 / 6

Beeld getiteld Los Kwadratiese Vergelykings Stap 15

Vereenvoudig. Om elke antwoord te vereenvoudig, verdeel hulle eenvoudig volgens die grootste getal wat ewe veel getalle verdeel. Verdeel die eerste breuk met 2 en deel die tweede met 6 sodat jy die waardes vir "x" kry.

16/6 = 8/3

-6/6 = -1

x = (-1, 8/3)

Metode 3

Voltooi die vierkant

Prent getiteld Los Kwadratiese Vergelykings Stap 16

Dra al die terme aan een kant van die vergelyking. Maak seker dat die term "`n "of" x "wees positief. Hier is hoe jy dit moet doen:
2x - 9 = 12x =
2x - 12x - 9 = 0
In hierdie vergelyking word die term "
`n "is 2, die term"b "is -12, en die term"c "is -9.

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op Stap 17

Dra die term "c "of konstant na die ander kant. Die konstante term is die numeriese term sonder `n veranderlike. Omskep dit aan die regterkant van die vergelyking:

2x - 12x - 9 = 0

2x - 12x = 9

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op Stap 18

Verdeel beide kante deur die koëffisiënt van die term "`n "of" x ". As "x" nie `n termyn het nie, het dit eenvoudig `n koëffisiënt van 1, dus kan jy hierdie stap oorskiet. In hierdie geval moet u al die terme met 2 verdeel, soos volg:

2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =

x - 6x = 9/2

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op Stap 19

Verdeel "b "tussen twee, lig dit na die vierkant, en voeg die resultaat aan weerskante. Die term "b "in hierdie voorbeeld is -6. Hier is hoe jy dit moet doen:

-6/2 = -3 =

(-3) = 9 =

x - 6x + 9 = 9/2 + 9

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op. Stap 20

Vereenvoudig albei kante. Faktoreer die terme aan die linkerkant sodat jy dit kry: (x-3) (x-3), of (x-3). Voeg die terme aan die regterkant sodat jy kry: 9/2 + 9 of 9/2 + 18/2, wat gelyk is aan 27/2.

Prent getiteld Los kwadratiese vergelykings op Stap 21

Vind die vierkantswortel aan weerskante. Die vierkantswortel van (x-3) is eenvoudig (x-3). U kan die vierkantswortel van 27/2 skryf as: ± √ (27/2). Dus: x - 3 = ± √ (27/2).

Prent getiteld Los Kwadratiese Vergelykings Stap 22

Vereenvoudig die radikale en vind die waarde van "x". Om ± √ (27/2) te vereenvoudig, soek `n perfekte vierkant binne die nommers 27 en 2 of hul faktore. Die perfekte vierkant 9 is binne 27, aangesien: 9 x 3 = 27. Neem die nommer 9 en skryf die nommer 3 (sy vierkantswortel) tot by die kantlyn van die radikale teken. Laat die nommer 3 in die teller van die breuk onder die radikale bord, aangesien die faktor 27 nie verwyder kan word nie en die nommer 2 in die onderste gedeelte verlaat. Transponeer dan die konstante 3 aan die linkerkant van die vergelyking aan die regterkant en skryf beide waardes vir "x":

x = 3 + (3/6) / 2

x = 3 - (3√6) / 2

wenke

Soos u kan sien, het die radikale teken nie heeltemal verdwyn nie. Daarom kan die terme in die teller nie gekombineer word nie (omdat dit nie soortgelyke terme is nie). Dan is daar geen rede om die +/- teken te verdeel nie. In plaas daarvan verdeel ons dit in algemene faktore, maar SLEGS as die faktor vir beide konstantes algemeen is en vir die radikale koëffisiënt.
As die getal onder die vierkantswortel nie `n perfekte vierkant is nie, verskil die laaste stappe `n bietjie. Byvoorbeeld:
As die term "b" `n ewe getal is, sal die formule die volgende wees: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante