Hoe trigonometriese vergelykings op te los

`N trigonometriese vergelyking is `n vergelyking wat een of meer trigonometriese funksies van die trigonometriese veranderlike van die boog x bevat. Verruiming "x" beteken die vind van die waardes van die trigonometriese boë, waarvan die trigonometriese funksies die trigonometriese vergelyking korrek maak.

Die antwoorde, of waardes van die oplossing-boë, word in grade of radiale uitgedruk. voorbeelde:

x = Pi / 3- x = 5Pi / 6- x = 3Pi / 2- x = 45 ° -x = 37,12 °-x = 178,37 °

Let wel: in die trigonometriese omtrek of eenheidsomtrek is die trigonometriese funksies van enige boog dieselfde trigonometriese funksies van die ooreenstemmende hoek. Die eenheidsomtrek definieer al die trigonometriese funksies van die veranderlike boog x. Dit word ook gebruik as `n demonstrasie in die oplos van basiese trigonometriese vergelykings en ongelykhede.
Voorbeelde van trigonometriese vergelykings:
sin x + sin 2x = 1/2 tg x + cotg x = 1,732;
cos 3x + sin 2x = cos x-2sen 2x + cos x = 1.

Die eenheidsomtrek.
Dit is `n sirkel met radius = 1 eenheid en O as die oorsprong. Die eenheidsomtrek definieer 4 hoof trigonometriese funksies van die veranderlike boog x wat teen die kloksgewys in dit draai.
Wanneer die boog met waarde x in die omtrek van die eenheid wissel:
Die horisontale as OAx definieer die trigonometriese funksie f (x) = cos x.
Die vertikale as OBy definieer die trigonometriese funksie f (x) = sin x.
Die vertikale as AT definieer die trigonometriese funksie f (x) = tg x.
Die horisontale as BU definieer die trigonometriese funksie f (x) = cotg x.

Die eenheidsomtrek word ook gebruik om basiese trigonometriese vergelykings en ongelykhede op te los, met inagneming van die verskillende posisies van die boog x in hierdie omtrek.

stappe

Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 1

Ken die konsep van resolusie.

Om `n trigonometriese vergelyking op te los, verander dit in een of verskeie basiese trigonometriese vergelykings. Laastens, die resolusie van trigonometriese vergelykings lei tot die resolusie van 4 tipes basiese trigonometriese vergelykings.

Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 2

Leer hoe om basiese trigonometriese vergelykings op te los.

Daar is 4 tipes basiese trigonometriese vergelykings:

sonde x = a - cos x = a

tg x = a - cotg x = a

Resolusie van die prosedures van die basiese trigonometriese vergelykings deur verskillende posisies van die boog x in die eenheidsomtrek te bestudeer en deur die trigonometriese omskakelingstabel of sakrekenaar te gebruik. Om ten volle te weet hoe om hierdie basiese en soortgelyke trigonometriese vergelykings op te los, lees die boek getiteld: "Trigonometrie: Oplossing van trigvergelykings en ongelykhede"(" Trigonometrie: Resolusie van trigonometriese vergelykings en ongelykhede ") (Amazon E-book 2010).

Voorbeeld 1: los sonde op x = 0.866. Die omskakelingstabel of sakrekenaar gee jou x = Pi / 3 as `n antwoord. Die eenheidsomtrek gee `n ander boog (2Pi / 3) wat dieselfde waarde van die sinus (0,866) het. Daarbenewens gee die omtrek van die eenheid `n oneindigheid van antwoorde wat verlengde oplossings genoem word.

x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, en x2 = 2Pi / 3 (oplossings in die interval (0, 2Pi))

x1 = Pi / 3 + 2k Pi, en x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi (verlengde oplossings)

Voorbeeld 2: los: cos x = -1/2. Die sakrekenaar gee as gevolg x = 2 Pi / 3. Die eenheidsomtrek gee `n ander resultaat x = -2Pi / 3.

x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, en x2 = - 2Pi / 3 (oplossings in die interval (0, 2Pi))

x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, en x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi (verlengde oplossings)

Voorbeeld 3: los: tg (x - Pi / 4) = 0.

x = Pi / 4- (oplossing)

x = Pi / 4 + k Pi- (uitgebreide oplossings)

Voorbeeld 4: los cotg 2x = 1,732 op. Die sakrekenaar en die omtrek van die eenheid sal in cotg 2x = 1,732 tot gevolg hê.

x = Pi / 12- (oplossing)

x = Pi / 12 + k Pi- (uitgebreide oplossings)

Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 3

Leer die transformasies wat gebruik word om trigonometriese vergelykings op te los.

`N trigonometriese vergelyking te omskep in `n basiese trigonometrie, met behulp van algemene algebraïese transformasies (faktorisering, `n gemeenskaplike faktor, polinoom identiteite ...), definisies en eienskappe van die trigonometriese funksies en trigonometriese identiteite. Daar is ongeveer 31, waarvan die laaste 14 trigonometriese identiteite, van 19 tot 31, transformasie-identiteite genoem word, aangesien hulle gebruik word in die transformasie van trigonometriese vergelykings. Lees die boek hierbo genoem.

Voorbeeld 5: Die trigonometriese vergelyking: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kan omskep word in `n produk van basiese trigonometriese vergelykings met behulp van trigonometriese identiteite: 4cos x * sonde (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 Die basiese trigonometriese vergelykings wat opgelos moet word, is: cos x = 0 - sin (3x / 2) = 0 - en cos (x / 2) = 0.

Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 4

Vind die boë waarvan die trigonometriese funksies bekend is.

Voordat jy trigonometriese vergelykings oplos, moet jy weet hoe om vinnig die boë te vind waarvan die trigonometriese funksies bekend is. Trigonometriese tafels en sakrekenaars gee die omskakelingswaardes van die boë, of hoeke.

byvoorbeeld: na die oplossing sal jy cos x = 0.732 hê. Die sakrekenaars gee die oplossing boog x = 42.95 °. Die eenheidsomtrek sal ander oplossingsboë met dieselfde kosiniewaarde gee.

Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 5

Teken die oplossingsboë in die omtrek van die eenheid.

U kan die oplossingsboë in die omtrek van die eenheid grafiseer of illustreer. Die eindpunte van hierdie oplossingsboë vorm gereelde veelhoeke in die eenheidsomtrek. voorbeelde:

Die ekstreme punte van die oplossing boë x = Pi / 3 + k.Pi / 2 vorm `n vierkant in die eenheidsomtrek.

Die boë van oplossing x = Pi / 4 + k.Pi / 3 word voorgestel deur die hoekpunte van `n gereelde seshoek in die eenheidsomtrek.

Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 6

Leer die Metodes om trigonometriese vergelykings op te los.

As die gegewe trigonometriese vergelyking `n enkele trigonometriese funksie bevat, los dit op as `n basiese trigonometriese vergelyking. As die gegewe trigonometriese vergelyking twee of meer trigonometriese funksies bevat, is daar 2 metodes vir resolusie, afhangende van die moontlikheid van transformasie.

A. Metode 1

Verander die gegewe trigonometriese vergelyking in `n produk in die vorm: f (x) .g (x) = 0 van (x) .g (x) .h (x) = 0, waarin f (x), g x) en h (x) is basiese trigonometriese vergelykings.

Voorbeeld 6: los: 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2pi).

Oplossing: vervang sonde 2x met die gebruik van identiteit: sin 2x = 2 * sin x * cos x.

cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Los dan die 2 basiese trigonometriese funksies op: cos x = 0, y (sin x + 1) = 0.

Voorbeeld 7: los: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2pi).

Oplossing: omskep dit in `n produk met behulp van trigonometriese identiteite: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Los dan die twee basiese trigonometriese vergelykings: cos 2x = 0, en (2 cos x + 1) = 0.

Voorbeeld 8: los: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 < x < 2pi).

Oplossing: omskep dit in `n produk deur trigonometriese identiteite te gebruik: -cos 2x * (2sen x + 1) = 0. Los dan die 2 basiese trigonometriese vergelykings op: cos 2x = 0 en (2sen x + 1) = 0.

B. Metode 2

Verander die trigonometriese vergelyking wat in `n trigonometriese vergelyking gegee word met `n enkele trigonometriese funksie as `n veranderlike. Daar is `n paar wenke oor hoe om die regte veranderlike te kies. Die algemene veranderlikes om te selekteer is: sin x = ts cos x = ts cos 2x = t, tg x = t en tg (x / 2) = t.

Voorbeeld 9: los: 3sen ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sen x + 7 (0 < x < 2pi).

Oplossing: vervang in die vergelyking (cos ^ 2 x) deur (1 - sin ^ 2 x) en vereenvoudig dan die vergelyking:

sonde ^ 2 x - 2 - 2sen ^ 2 x - 4 sin x - 7 = 0. Vind sin x = t. Die vergelyking word: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dit is `n trigonometriese vergelyking met 2 reële wortels: t1 = -1 en t2 = 9/5. Die tweede t2 word afgekeur omdat dit> 1. Los dan op: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.

Voorbeeld 10: los: tg x + 2 tg ^ 2 x = cotg x + 2.

Oplossing: bereken tg x = t. Verander die vergelyking gegee in `n vergelyking as `n veranderlike t (2t + 1) (t ^ 2-1) t = 0 Duidelike produk, los dan die basiese trigonometriese vergelyking OG x = t vir x.

Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 7

Los spesiale tipes trigonometriese vergelykings op.

Daar is `n paar spesiale tipes trigonometriese vergelykings wat sekere spesifieke transformasies benodig. voorbeelde:

a * sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;

a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0.

Prent getiteld Los trigonometriese vergelykings op Stap 8

Leer die periodieke eienskap van trigonometriese funksies.

Alle trigonometriese funksies is periodies, wat beteken dat hulle na dieselfde waarde na `n rotasie vir `n tydperk terugkeer. voorbeelde:

Die funksie f (x) = sin x het 2Pi as periode.

Die funksie f (x) = tg x het Pi as periode.

Die funksie f (x) = sin 2x het Pi as periode.

Die funksie f (x) = cos (x / 2) het 4Pi as periode.

As u die tydperk in die probleem of toets spesifiseer, moet u slegs die oplossingboë of x binne hierdie tydperk vind.

NOTA: die oplos van trigonometriese vergelykings is `n ingewikkelde werk wat dikwels lei tot foute. Daarom moet die oplossings baie noukeurig hersien word. Na die oplossing kan u die oplossings hersien deur `n grafiese sakrekenaar te gebruik om die gegewe trigonometriese vergelyking R (x) = 0 direk te vergelyk. Die oplossings (reële wortels) sal in desimale getalle wees. Byvoorbeeld, Pi sal uitgedruk word in die waarde van 3.14.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante