Hoe om trinome te faktoriseer

`N Trinoom is `n algebraïese uitdrukking wat uit drie terme bestaan. Heel waarskynlik leer jy eers trinomiale te faktoriseer "kwadratiese"- dit is die geskrewe trinome van die vorm ax + bx + c. Daar is verskeie truuks wat jy kan leer wat van toepassing is op verskillende soorte kwadratiese trinome, wat jy sal leer om beter en vinniger met `n bietjie oefening te gebruik. Polinome groter mate, met terme soos x of x, kan nie altyd opgelos word met behulp van dieselfde metodes, maar gewoonlik kan `n eenvoudige metode faktorisering of vervanging gebruik om probleme wat opgelos kan word as `n kwadratiese formule geword.

conținut

Stappe
Metode 1faktor-trinome van die vorm x + bx + c
Metode 2faktor meer ingewikkelde trinome
Metode 3faktor spesiale gevalle
Probleme en oplossings
Wenke
Waarskuwings

stappe

Metode 1
Faktor-trinome van die vorm x + bx + c

Faktor-Drieterme-stap-1-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Leer die FOIL vermenigvuldiging metode. Miskien ken jy al die FOIL-metode, wat beteken "eerste, buite, binne en laaste", en dit word gebruik om uitdrukkings soos (x + 2) (x + 4) te vermenigvuldig. Dit is baie nuttig om te weet hoe hierdie metode werk voor factoring. Dit word soos volg gedoen:

Vermenigvuldig die eerste terme: (x+2) (x+4) = x + __
Vermenigvuldig die terme eksterne: (x+2) (x +4) = x +4x + __
Vermenigvuldig die terme binneland: (x +2) (x+4) = x + 4x +2x + __
Vermenigvuldig die nuutste terme: (x +2) (x +4) = x + 4x + 2x +8
Vereenvoudig: x +4x + 2x+8 = x +6x+8

Faktor-Drieterme-stap-2-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Verstaan die faktoriseringsproses. Wanneer u twee binomiale vermenigvuldig met die FOIL-metode, is die resultaat `n trinome (`n uitdrukking met drie terme) van die vorm byl +bx +c, waar a, b en c normale getalle is. As u `n vergelyking met dieselfde vorm kry, kan u dit in twee binomiale verdeel.

As die vergelyking nie so geskryf word nie, herorganiseer die terme. Byvoorbeeld, herskryf3x - 10 + x as x + 3x - 10.

Omdat die grootste eksponent 2 (x) is, word hierdie tipe uitdrukking genoem "kwadratiese".

Faktor-Drieterme-stap-3-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Laat `n spasie vir die antwoord. Vir die oomblik moet jy net skryf (__ __) (__ __), in die ruimte waar jy van plan is om jou antwoord te skryf. U sal die velde invul soos u vorder.

Moet nie + of - in die middel van die leë terme skryf nie, aangesien ons die teken nie ken nie.

Faktor-Drieterme-stap-4-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Voltooi die eerste terme. Vir eenvoudige probleme, waar die eerste term van die trinome x is, sal die terme in die eerste reëls altyd wees x en x. Dit is die faktore van die term x, aangesien x by x = x.

Ons voorbeeld x + 3x - 10 begin met x, dus kan ons die volgende skryf:

(x __) (x __)

Ons sal meer ingewikkelde probleme in die volgende afdeling dek, insluitende trinome wat begin met `n term soos 6x of -x. Vir nou, volg die voorbeeld.

Faktor-Drieterme-stap-5-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Gebruik factoring om die laaste terme te vind. As jy teruggaan en die FOIL-metode hersien, sal jy sien dat jy die laaste terme vermenigvuldig om die finale termyn van die polinoom te kry (die een wat nie x het nie). Om dus te faktor, moet jy twee getalle vind wat vermenigvuldig in die laaste kwartaal.

In ons voorbeeld, x + 3x - 10, is die laaste term -10.

Wat is die faktore -10? Watter vermenigvuldigde getalle gee -10?

Daar is verskeie moontlikhede: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 en uiteindelik 2 x -5. Skryf hierdie stelle getalle sodat jy hulle nie vergeet nie.

Moenie die antwoord skryf nie. Dit moet nog so lyk: (x __) (x __).

Faktor-Drieterme-stap-6-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Definieer die korrekte antwoord deur die binnekant van die buitekant te vermenigvuldig. Ons het die soektog van die laaste terme beperk tot slegs `n paar moontlikhede. Gebruik toets en fout om elke moontlikheid te toets, vermenigvuldig die buitenste term aan die binneland en vergelyk die resultaat met die trinome. Byvoorbeeld:

Die oorspronklike probleem het `n term "x" 3x, dus moet ons die term kry met vermenigvuldiging.

Kom ons probeer met -1 en 10: (x-1) (x + 10). Die buitekant + die binneland = 10x - x = 9x. Dit is nie die antwoord nie.

Kom ons probeer met 1 en -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Die antwoord is ook nie. Trouens, aangesien ons met -1 en 10 getoets het, weet ons dat as ons 1 en 10 gebruik, sal ons dieselfde antwoord kry met die teenoorgestelde teken: -9x in plaas van 9x.

Kom ons probeer met -2 en 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Hierdie antwoord pas by die oorspronklike polinoom, dus dit is die korrekte antwoord: (x-2) (x + 5).

In eenvoudige gevalle soos die vorige een, as daar geen konstante langs die term x is nie, kan jy `n kortpad gebruik: voeg eenvoudig die twee faktore by en voeg `n "x" (-2 +5 → 3x). Maar hierdie truuk werk nie vir meer ingewikkelde probleme nie, so dit is goed om die "lang vorm" hierbo beskryf.

Metode 2
Faktor meer ingewikkelde trinome

Faktor-Drieterme-stap-7-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Gebruik eenvoudige factoring om die mees ingewikkelde probleme te fasiliteer. Gestel ons gaan faktor 3x + 9x - 30. Vind die faktor van die drie terme (die "maksimum gemeenskaplike faktor" of MFC). In hierdie geval is dit 3:

3x = (3) (x)
9x = (3) (3x)
-30 = (3) (- 10)
Daarom, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x-10). Ons kan die nuwe trinoom faktor deur die stappe wat in die vorige afdeling beskryf is, te gebruik. Die finale antwoord sal wees (3) (x-2) (x + 5).

Faktor-Drieterme-stap-8-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Vind meer ingewikkelde faktore. Soms kan die faktor vergesel word van `n veranderlike of jy moet verskeie kere faktor om die eenvoudigste uitdrukking moontlik te vind. Hier is `n paar voorbeelde:

2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)

x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)

-x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)

Moenie vergeet om elke nuwe trinoom wat u verkry, te faktor nie, gebruik die stappe wat in metode 1 beskryf word. Gaan u resultate na en kyk na soortgelyke voorbeelde in die probleme afdeling onderaan hierdie bladsy.

Faktor-Drieterme-stap-9-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Los die driehoeke op wat `n getal het wat ooreenstem met die term x. Sommige kwadratiese trinome kan nie vereenvoudig word om hulle op `n eenvoudige manier op te los nie. Leer om probleme op te los soortgelyk aan 3x + 10x + 8 en oefen dan alleen op die probleme onderaan die bladsy:

Kom ons gee ruimte vir die antwoord: (__ __) (__ __)

die "eerste" terme moet `n x hê en ons moet hulle vermenigvuldig om 3x te kry. Daar is net een oplossing: (3x __) (x __).

Skryf die faktore van 8. Ons opsies is 1 x 8 of 2 x 4.

Probeer die buitenste term met die binne termyn vermenigvuldig. Neem die volgorde van die faktore in ag, aangesien jy die buitenste term by 3x in plaas van x moet vermenigvuldig. Probeer al die opsies totdat jy 10x resultaat kry (die oorspronklike probleem term):

(3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x geen

(3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x geen

(3x +2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x geen

(3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ja. Dit is die korrekte faktor.

Faktor-Drieterme-stap-10-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Prent getiteld Trinomials Factor Stap 10

Gebruik die vervangingsmetode vir die hoogste graad-trinome. Hulle kan jou `n vergelyking gee met `n eksponent wat groter is as twee (soos x), selfs na factoring om die probleem te vereenvoudig. Vervang met `n veranderlike wat die probleem omskakel in een wat jy kan oplos. Byvoorbeeld:

x + 13x + 36x

= (x) (x + 13x + 36)

Kom ons skep `n nuwe veranderlike. Laat y = x en vervang:

(x) (y + 13 + 36)

= (x) (y + 9) (y + 4). Kom ons vervang met die oorspronklike veranderlike:

= (x) (x + 9) (x + 4)

=(x) (x ± 3) (x ± 2)

Metode 3
Faktor spesiale gevalle

Faktor-Drieterme-stap-11-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Prent getiteld Trinomials Factor Stap 11

Soek vir priemgetalle. Kontroleer dat die konstante in die eerste of derde kwartaal van die trinome `n priemgetal is. `N Priemgetal kan verdeel word om slegs `n presiese getal op sigself en een te kry, dus is daar slegs een moontlike paar faktore om in die binomiaal te betree.

Byvoorbeeld, in x + 6x + 5, 5 is `n priemgetal, dus die binomiaal moet die vorm hê (__ 5) (__ 1).
In die probleem 3x + 10x + 8, 3 is `n priemgetal, dus die binomiaal moet die vorm hê (3x __) (x __).
Vir die probleem 3x + 4x + 1, die 3 en die 1 is priemgetalle, dus die enigste moontlike oplossing is (3x +1) (x + 1). (In elk geval moet u die vermenigvuldiging oplos om te kontroleer, aangesien sommige uitdrukkings nie verreken kan word nie, byvoorbeeld, die vergelyking 3x + 100x + 1, het geen faktore nie).

Faktor-Drieterme-stap-12-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Prent getiteld Trinomials Factor Stap 12

Kyk of die trinome `n perfekte vierkant is. `N Volmaakte vierkantige trinomiaal kan in twee identiese binomiale geïnkorporeer word en die gevolglike faktor word gewoonlik as (x + 1) in plaas van (x + 1) (x + 1) geskryf. Hier is `n paar voorbeelde wat dikwels in die probleme van algebra gesien word:

x + 2x + 1 = (x + 1) en x-2x + 1 = (x-1)

x + 4x + 4 = (x + 2) en x-4x + 4 = (x-2)

x + 6x + 9 = (x + 3) en x-6x + 9 = (x-3)

`N Volmaakte vierkantige trinome vorm byl + bx + c het altyd terme van a en c wat perfek positiewe blokkies is (soos 1, 4, 9, 15 of 25) en die term b (positief of negatief) is gelyk aan 2 (√a * √c).

Faktor-Drieterme-stap-13-weergawe-2.jpg" klas ="beeld ligkas">

Prent getiteld Trinomials Factor Stap 13

Kontroleer of die probleem `n oplossing het. Nie alle trinome kan in ag geneem word nie. As jy nie `n kwadratiese trinoom kan oplos nie (as + bx + c), gebruik die kwadratiese formule om die antwoord te vind. As die enigste oplossings die vierkantswortel van `n negatiewe getal is (dit wil sê, daar is geen regte oplossing nie), dan kan die trinome nie verreken word nie.

Vir nie-kwadratiese trinome, gebruik die Eisenstein-kriterium, wat in die wenke-afdeling beskryf word.

Probleme en oplossings

Antwoorde op factoring probleme "ingewikkeld". Dit is die probleme van stap oor "meer ingewikkelde faktore". Hulle is reeds vereenvoudig tot eenvoudige trinome, dus probeer om hulle op te los deur die stappe wat in metode 1 beskryf word, na te gaan. Kontroleer dan jou antwoorde hier:
(2y) (x + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
(x) (x + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
(-1) (x - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (X-3)
Probeer meer ingewikkelde factoringprobleme. Hierdie probleme het `n gemeenskaplike faktor in elke term wat eers verreken moet word. Skadu die spasie na die gelyke teken om die antwoord te sien en kyk na jou werk:
3x + 3x-6x = (Xx) (x + 2) (x-1) ← Skadu hierdie spasie om die antwoord te sien.
-5xy + 30xy-25yx = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
Oefen met moeilike probleme. Die volgende probleme kan nie in eenvoudige oplossings verdeel word nie, dus moet u die antwoord van die vorm (_x + __) (_ x + __) deur die proef en fout vind:
2x + 3x-5 = (2x + 5) (x-1) ← skaduwee om die antwoord te sien.
9x + 6x + 1 = (3x +1) (3x + 1) = (3x +1) (Wenk: Miskien moet jy meer as `n paar faktore vir die 9x termyn probeer).

wenke

As jy nie `n kwadratiese trinome kan faktor nie (as + bx + c), kan jy die kwadratiese formule gebruik om die waarde van x te vind.
Alhoewel dit nie nodig is om te weet nie, kan u Eisenstein se kriteria gebruik om vinnig vas te stel of die polinoom onreduseerbaar is. In hierdie geval kan dit nie verwerk word nie. Hierdie kriterium werk vir enige tipe polinoom, maar werk die beste in die trinome. As daar `n priemgetal (p) is wat die laaste twee terme presies verdeel en aan die volgende voorwaardes voldoen, dan is die polinoom onreduseerbaar:

Die konstante term (die een met geen veranderlike) is `n veelvoud van p, maar nie p.
Die eerste kwartaal (byvoorbeeld, a in byl + bx + c) is nie `n veelvoud van p.
Byvoorbeeld, 14x + 45x + 51, is onreduseerbare omdat daar `n priemgetal (3) is wat presies verdeel tot 45 en 51, maar nie tot 14- en 51 kan nie presies tussen 3 verdeel word nie.

waarskuwings

Alhoewel dit waar is vir kwadratiese trinome, is fabelagtige trinome nie noodwendig die produk van twee binomiale nie. Byvoorbeeld, x + 105x + 46 = (x + 5x + 2) (x - 5x + 23).

Deel op sosiale netwerke:

Verwante