Hoe om `n rasionale funksie te grafiseer

`N Rasionale funksie is `n vergelyking wat die vorm het y = N (

conținut

Stappe
Wenke

x) / D (x), waar N en D polinome is. Probeer om `n akkurate grafiek van een hand behels `n volledige oorsig van baie van die belangrikste kwessies in die hoërskool van basiese algebra om calculus. Oorweeg die volgende voorbeeld: y = (2x - 6x + 5) / (4x + 2).

stappe

Prent getiteld Grafiek `n rasionele funksie Stap 1

Vind die kruising met en." Net gelyk aan x = 0. Alles behalwe die konstante terme verdwyn, verlaat en = 5/2. Uitdrukking van hierdie as `n koördinaatpaar, (0, 5/2) is `n punt op die grafiek. Grafiek die punt.

Prent getiteld Grafiek `n rasionele funksie Stap 2

Vind die horisontale asimptoot. verdeel die noemer tussen die teller om die gedrag van en vir hoër en absolute waardes van x. In hierdie voorbeeld toon die afdeling dat y = (1/2)x - (7/4) + 17 / (8x + 4). Vir groot positiewe of negatiewe waardes van x, 17 / (8x + 4) nul nader en die grafiek benader die lyn y = (1/2)x - (7/4). Met `n stippelagtige of baie dun lyn word die volgende reël geteken.

As die graad van die teller is minder as die noemer, dit kan nie verdeel word nie en die asimptoot bly as y = 0

As jy (N) = deg (D) is, is die asimptoot `n horisontale lyn van die kwosiënt van die hoofkoëffisiënte.

As jy (N) = deg (D) + 1 is, is die asimptoot `n lyn waarvan die helling die kwosiënt van die hoofkoëffisiënte is.

As jy (N) > deg (D) + 1, dan vir groot waardes van |x |, en dit gaan vinnig na positiewe of negatiewe oneindigheid as `n kwadratiese, kubieke of `n groter polinoomgraad. In hierdie geval is dit waarskynlik nie die moeite werd om die delingskwotiënt akkuraat te beplan nie.

Prent getiteld Grafiek `n rasionele funksie Stap 3

Vind die nulle. `N Rasionale funksie het `n nul wanneer die teller nul is, dus is dit gelyk aan N (x) = 0. In die voorbeeld, 2x - 6x + 5 = 0. Die diskriminant van hierdie kwadratiese is b - 4a = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Aangesien die diskriminant negatief is, is N (x), en gevolglik f (x), het geen werklike wortels nie. Die grafiek gaan nooit oor die as nie x. As jy nul vind, moet jy die punte by die grafiek voeg.

Prent getiteld Grafiek `n rasionele funksie Stap 4

Vind die vertikale asimptote. `N Vertikale asimptoot kom voor wanneer die noemer nul is. Deur ooreenstem met 4x + 2 = 0 gee jou die vertikale lyn x = -1 / 2. Teken elke vertikale asimptoot met `n baie dun of stippellyn. Indien enige waarde van x doen beide N (x) = 0 as D (x) = 0, daar mag of mag nie vertikale asimptote wees nie. Dit is raar, maar sien die raad van wat om te doen as dit sou gebeur.

Prent getiteld Grafiek `n rasionele funksie Stap 5

Verifieer die verspilling van die afdeling in stap 2. Wanneer is dit positief, negatief of nul? In die voorbeeld is die teller van die res 17, wat altyd positief is. Die noemer, 4x + 2, is positief regs van die vertikale asimptoot en negatief na links. Dit beteken dat die grafiek die lineêre asimptoot hierbo benader vir groot positiewe waardes van x en onder vir groot negatiewe waardes van x. Sedert 17 / (8x + 4) kan nooit nul wees nie, hierdie grafiek sny nooit die lyn nie y = (1/2)x - (7/4). Moet niks nou by die grafiek voeg nie, maar neem later die gevolgtrekkings in ag.

Prent getiteld Grafiek `n rasionele funksie Stap 6

Vind die plaaslike eindes. `N Plaaslike eindpunt kan voorkom wanneer N` (x) D (x) - N (x) D `(x) = 0. In die voorbeeld, N `(x) = 4x - 6 en d `(x) = 4. N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = (4x - 6) (4x + 2) - (2x - 6x + 5) * 4 = 0. Wanneer u dit uitbrei, groepterme en verdeel met 4, is die resultaat soos volg: x + x - 4 = 0. Die kwadratiese formule het `n wortel naby x = 3/2 en x = -5 / 2. (Dit verskil ongeveer 0.06 van die presiese waarde, maar ons grafiek sal nie akkuraat genoeg wees om bekommerd te wees oor daardie soort detail nie. Wanneer u `n ordentlike rasionele benadering kies, sal die volgende stap makliker wees.)

Prent getiteld Grafiek `n rasionele funksie Stap 7

Vind die waarde van en vir elke plaaslike einde. Evalueer die waardes van x van die vorige stap terug na die oorspronklike rasionale funksie om die ooreenstemmende waarde van en. In die voorbeeld, f (3/2) = 1/16 en f (-5/2) = -65/16. Voeg hierdie punte, (3/2, 1/16) en (-5/2, -65/16) by die grafiek. Omdat ons benaderde waardes in die vorige stap gebruik, sal dit nie die presiese maksimums en minimums wees nie, maar hulle is baie naby aan hulle. (Ons weet dat (3/2, 1/16) baie naby aan die plaaslike minimum waarde is. en dit is positief wanneer x > -1/2 en ons vind `n waarde so klein soos 1/16, dus ten minste in hierdie geval is die fout waarskynlik minder as die dikte van die lyn.)

Prent getiteld Grafiek `n rasionele funksie Stap 8

Verbind die kolletjies en brei die grafiek noukeurig deur die bekende punte na die asimptote uit, maak seker dat u benadering uit die regte rigting kom. Wees versigtig om nie die skag oor te steek nie x behalwe by punte wat in stap 3. intersectes horisontale of lineêre asimptoot behalwe die punte wat in stap 5. Geen verandering van die verhoging van helling op `n dalende behalwe aan die einde punte in stap hierbo.

wenke

In seldsame gevalle kan die teller en die noemer `n gemeenskaplike faktor hê wat nie konstant is nie. As jy die stappe volg, sal dit as `n nul en `n vertikale asimptoot op dieselfde plek vertoon word. Aangesien dit onmoontlik is, is wat eintlik gebeur, een van die volgende gevalle:

Die nul in die N (x) het `n veelvoud groter as nul in D (x). Die grafiek van f (x) nader nou nul, maar dit is ongedefinieer daar. Dit word aangedui deur `n onvoltooide sirkel rondom die punt.
Die nul in die N (x) en nul in D (x) het dieselfde veelheid. Die grafiek benader `n ander punt as nul vir hierdie waarde van x, maar dit is ongedefinieer daar. Weereens, dit word aangedui deur `n oop sirkel.
Die nul in die N (x) het `n veelvoud minder as nul in D (x). Hier is `n vertikale asimptoot.

Sommige van hierdie stappe mag die resolusie van `n polinoom van groter graad behels. As jy nie presiese oplossings kan vind deur factoring, formules of ander middele nie, skat die oplossing met behulp van numeriese tegnieke soos Newton se metode.

Die volgende stappe in volgorde, gewoonlik nie ook nodig wees om toetse afgeleide tweede graad of soortgelyke potensieel bemoeilik metodes gebruik om te bepaal of kritieke waardes is plaaslike, minimum lokale maksima, of enige van die bogenoemde. Probeer om inligting uit die vorige stappe te gebruik en eers `n bietjie logika.

As jy dit net met precalculus-metodes probeer, kan jy die stappe vervang om plaaslike eindes te vind deur baie addisionele bestelde pare te bereken (x, y) tussen elke paar asimptote. Alternatiewelik, as jy nie omgee nie hoe dit gebeur, is daar geen rede waarom `n student precalculation die afgeleide van `n polinoom kan neem en op te los N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = 0.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante