Hoe om `n herhalingsverhouding op te los

Wanneer `n formule vir `n wiskundige volgorde probeer word, is `n algemene tussenstappie om die term n (nde) te vind, nie as `n funksie van n nie, maar in terme van die komponente van `n vorige volgorde. Byvoorbeeld, terwyl dit goed sal wees om `n geslote vormfunksie vir die term van die Fibonacci-ry te hê, is die enigste ding wat ons het, die herhalingsverhouding, wat beteken dat elke term van die Fibonacci-volgorde die som van die twee terme is. hierbo. In hierdie artikel bied ons verskeie metodes aan om `n formule uit die geslote vorm van herhaling af te lei.

stappe

Metode 1

2

Omdat elke termyn 3 keer meer is as die vorige een, kan dit uitgedruk word as `n herhaling soos gedemonstreer.

3

Herken dat enige volgorde in die vorm van a_N = a_N-1 + d is `n rekenkundige ry.

4

Skryf die geslote vorm van die formule van `n rekenkundige ry, moontlik met onbekendes soos gedemonstreer.

5

Los die onbekendes op, afhangende van hoe die volgorde begin het. In hierdie geval, omdat 5 die term 0 was, is die formule a_N = 5 + 3n. As jy wou dat 5 die eerste kwartaal was, sou jy dit kry_N = 2 + 3n.

Metode 2

2

Omdat elke term tweemaal soveel is as die vorige een, kan dit uitgedruk word as `n herhaling soos gedemonstreer.

3

Herken dat enige herhaling van die vorm na_N = r * a_N-1 Dit is `n meetkundige volgorde.

4

Skryf die geslote vorm van die formule vir `n meetkundige volgorde, moontlik met onbekende soos aangetoon.

5

Los enige onbekende op, afhangende van hoe die volgorde begin het. In hierdie geval, omdat die 3 die term 0 was, is die formule a_N = 3 * 2. As jy wil hê 3 moet die eerste term wees, sal jy dit kry_N = 3 * 2.

Metode 3

2

Enige herhaling van die getoonde vorm, waar p (n) enige polinoom in n is, sal `n geslote polinoomformule van graad een hê wat groter is as die graad van p.

3

Skryf die algemene vorm van `n polinoom van die vereiste graad neer. In hierdie voorbeeld is p kwadraties, dus moet ons `n kubus hê wat die volgorde voorstel_N.

4

Omdat `n kubus 4 onbekende koëffisiënte het, word 4 terme van die ry benodig om die resulterende stelsel te verkry. Enige van die 4 kan gebruik word, dus gebruik die terme 0, 1, 2 en 3. Doen die herhaling onderstebo om die term -1 te vind, kan `n stelsel makliker oplos, maar dit is nie nodig nie.

5

Los die resulterende stelsel van grawe (p) +2 vergelykings in deg (p) = 2 onbekende soos gedemonstreer.

6

As dit was een van die terme wat gebruik word om die koëffisiënte resultate in die termyn van konstante gratis polinoom te los en kan stelsel grade (p) 1 vergelykings grade (p) 1 onbekendes onmiddellik verminder soos aangedui.

7

Los die stelsel van lineêre vergelykings op om c te vind₃ = 1/3, c₂ = -5 / 2, c₁ = -17/6, en c = 5. Gee die geslote formule vir a_Nas `n polinoom met bekende koëffisiënte.

Metode 4

2

Skryf die polinoom eienskappe van herhaling. Dit word gevind deur elkeen te vervang_N in die herhaling deur x en verdeel deur xdejando `n mononome polinoom van graad k en `n konstante term wat nie nul is nie.

3

Los die kenmerkende polinoom op. In hierdie geval het die eienskap `n graad 2, sodat ons die kwadratiese formule kan gebruik om die wortels te vind.

4

Enige uitdrukking van die vorm wat getoon word, voldoen aan die herhaling. Die c_iis enige konstante en die basis van die eksponente is die wortels van die bogenoemde eienskap. Dit kan deur induksie geverifieer word.

5

Vind die c_iwat voldoen aan die voorgeskrewe aanvanklike voorwaardes. Soos in die voorbeeld van die polinoom word dit gedoen deur `n lineêre stelsel van vergelykings van die aanvanklike terme te skep. Omdat hierdie voorbeeld twee onbekendes het, benodig ons twee terme. Enige paar terme sal werk, dus neem die 0 en 1 om te verhoed dat `n irrasionele nommer na `n hoë krag ingesamel word.

6

Los die resulterende stelsel van vergelykings op.

7

Verbind die resulterende konstantes in die algemene formule as die oplossing.

Metode 5

2

Skryf die gegenereerde funksie van die ry neer. `N Opwekkingsfunksie is bloot `n reeks formele kragte waar die koëffisiënt van x die term n van die ry is.

3

Manipuleer die opwekkingsfunksie soos getoon. Die doel van hierdie stap is om `n vergelyking te vind wat ons toelaat om die opwekkingsfunksie A (x) op te los. Onttrek die aanvanklike term. Pas die herhalingsverhouding toe aan die oorblywende terme. Verdeel die som. Onttrek konstante terme. Gebruik die definisie van A (x). Gebruik die formule vir die som van meetkundige reekse.

4

Vind die genereerfunksie A (x).

5

Vind die koëffisiënt van x in A (x). Die metodes om dit te doen wissel na gelang van hoe presies A (x) gesien word, maar die metode van parsiële breuke, gekombineer met die kennis van die genereerfunksie van `n meetkundige volgorde, werk soos hier getoon.

6

Skryf die formule vir a_Ndeur die koëffisiënt van x in A (x) te identifiseer.