Hoe om radikale uitdrukkings te vereenvoudig

`N Radikale uitdrukking is `n algebraïese uitdrukking wat `n vierkantswortel (kubieke of groter) insluit. Oor die algemeen kan hierdie uitdrukkings dieselfde nommer beskryf as hulle baie anders lyk (bv.

conținut

Stappe
Metode 1
Metode 2
Metode 3
Metode 4
Metode 5
Metode 6
Wenke

12-1{ displaystyle { frac {1} {{sqrt {2}} - 1}}} =

{ displaystyle { sqrt {2}} + 1}

). Die oplossing is om `n voorkeur "canonical form" vir hierdie uitdrukkings te definieer. As twee uitdrukkings met kanonieke vorm steeds anders lyk, dan is hulle werklik anders. Wiskundiges stem saam dat die kanonieke vorm vir radikale uitdrukkings die volgende reëls moet respekteer:

vermy breuke in die radikale
moenie breuke eksponente gebruik nie
vermy radikale in die noemers
vermeerder nie twee radikale met mekaar nie
het slegs vrye terme binne die radikale

`N Praktiese gebruik vir hierdie uitdrukkings is meervoudige keuse eksamens. As jy `n probleem oplos, maar die antwoord nie ooreenstem met enige van die veelvoudige opsies nie, probeer om dit op `n kanonieke manier te vereenvoudig. Omdat eksamenskrywers gewoonlik die antwoorde op hierdie manier plaas, doen dieselfde met joune. In die vrye reaksie toetse, opdragte soos "Vereenvoudig jou antwoord" of "vereenvoudig al radikale" beteken dat dit nodig is stappe uit te voer is tot die antwoord voldoen aan die bogenoemde kanonieke vorm. Dit het ook `n mate van nut in die oplos van vergelykings, hoewel sommige eenvoudiger is om op te los deur `n nie-kanonieke vorm.

stappe

Indien nodig, hersien die reëls rakende die bestuur van radikale en eksponente (Hulle is dieselfde, want radikale is fraksionele magte), omdat die meeste van hulle nodig sal wees vir hierdie proses. Dit hersien ook die reëls vir die manipulasie en vereenvoudiging van polinoomuitdrukkings en rasionele, U kan ook dwarsdeur die vereenvoudingsproses benodig word.

Metode 1

Volmaakte kragte

Vereenvoudig radikale uitdrukkings wat volmaakte vierkante is. `N Volmaakte vierkant is die produk van enige getal wat homself vermenigvuldig, soos in die geval van 81, wat die gevolg is van vermenigvuldiging van 9 x 9. As jy `n perfekte vierkant binne `n radikaal wil vereenvoudig, verwyder jy die radikale teken en skryf die getal wat die vierkantswortel van die perfekte vierkant voorstel.

Byvoorbeeld, 121 is `n perfekte vierkant omdat 11 x 11 121 is. Daarom kan jy die uitdrukking vereenvoudig ${ displaystyle { sqrt {121}}}$ tot 11, dus die simbool van die vierkantswortel uitskakel.
As jy hierdie proses makliker wil maak, memoriseer die eerste twaalf perfekte blokkies: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36 , 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

Vereenvoudig radikale uitdrukkings wat perfekte blokkies is. `N Volmaakte kubus is die produk van enige getal wat twee keer twee keer vermenigvuldig, soos in die geval van 27, wat die gevolg is van 3 x 3 x 3. As jy `n radikale uitdrukking wil vereenvoudig as `n perfekte kubus binne-in `n teken is van kubieke wortel, verwyder slegs die radikale teken en skryf die getal wat die kubuswortel van die perfekte kubus verteenwoordig.

Byvoorbeeld, 343 is `n perfekte kubus omdat dit die gevolg is van die vermenigvuldiging van 7 x 7 x 7. Daarom is die kubuswortel van die perfekte kubus eenvoudig 7.

Metode 2

Omskakel rasionele eksponente na radikale

U kan ook die omskakeling in die teenoorgestelde rigting maak as u verkies (soms is daar goeie redes om dit te doen), maar moenie terme kombineer soos ${ displaystyle { sqrt {5}} + 5 ^ { frac {3} {2}}}$ in dieselfde uitdrukking. In hierdie geval gaan ons aan dat u besluit om te kies vir `n radikale notasie en u sal die uitdrukking gebruik ${ displaystyle { sqrt {n}}}$ om die vierkantswortel van n en ${ displaystyle { sqrt [{3}] {n}}}$ vir kubieke wortels.

Vind al die fraksionele eksponente en omskep hulle na hul radikale ekwivalente deur die volgende formule te gebruik ${ displaystyle x ^ { frac {a} {b}} = { sqrt [{b}] {x}} ^ {a}}$

As jy `n breuk in die indeks van `n radikaal het, verwyder dit ook. Byvoorbeeld, ${ displaystyle { sqrt [{ frac {2} {3}}] {4}}}$ = ${ displaystyle ({ sqrt {4}}) ^ {3}}$ = ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8

Omskep die negatiewe eksponente in hul ekwivalente breuk deur die volgende formule te gebruik ${ displaystyle x ^ {- y} = { frac {1} {x ^ {y}}}}$

Dit geld slegs vir konstante rasionele eksponente. As jy terme het

{ displaystyle 2 ^ {x}}

, Raak hulle nie aan nie, selfs wanneer die probleem impliseer dat "x" fraksioneel of negatief kan wees.

Kombineer soortgelyke terme en vereenvoudig die rasionele uitdrukkings wat jy as gevolg hiervan kry.

Metode 3

Elimineer breuke uit radikale

Om kanonieke vorme te vestig, is dit nodig om die wortel van `n breuk as `n wortel van heelgetalle uit te druk.

Gaan die terme binne elke radikaal na om te bepaal of dit breuke bevat. As dit die geval is, gaan na die volgende stap.

Vervang hulle as `n verhouding van twee radikale wat die identiteit gebruik ${ Display { sqrt { frac {n} {b}}} = { frac { sqrt {n}} { sqrt {b}}}}$ .

Moenie die identiteit gebruik as die noemer negatief is nie of as dit `n veranderlike uitdrukking is wat `n negatiewe waarde mag hê. In daardie geval, vereenvoudig eers die breuk.

Vereenvoudig die perfekte blokkies wat jy as gevolg hiervan kry. Dit beteken dat jy die uitdrukking moet omskep

{ displaystyle { sqrt { frac {5} {4}}}}

{ displaystyle { frac { sqrt {5}} { sqrt {4}}}}

en dan vereenvoudig dit

{ displaystyle { frac { sqrt {5}} {2}}}

Maak ander nuttige vereenvoudigings, soos die vermindering van saamgestelde breuke, die kombinasie van soortgelyke terme, ens.

Metode 4

Kombineer radikale produkte

As jy `n radikale uitdrukking vermenigvuldig met `n ander, kombineer dit asof dit `n enkele radikaal is Gebruik die volgende eiendom:

{ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {a times b}}}

. Vervang byvoorbeeld die volgende uitdrukking

{ displaystyle { sqrt {2}} times { sqrt {6}}}

deur

{ displaystyle { sqrt {12}}}

Die identiteit hierbo genoem, ${ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {a times b}}}$ , Dit is geldig vir nie-negatiewe radikale. Moenie dit toepas as ${ displaystyle a}$ en ${ displaystyle b}$ hulle is negatief, want jy sal die volgende verkeerde resultaat kry: ${ displaystyle { sqrt {-1}} times { sqrt {-1}} = { sqrt {1}}}$ . Per definisie is die element aan die linkerkant gelyk aan -1 (of ongedefinieerd as jy nie komplekse getalle wil erken nie), terwyl die een aan die regterkant gelyk is aan +1. indien ${ displaystyle a}$ of ${ displaystyle b}$ is negatief, eerste "herstel" jou teken deur middel van die volgende formule: ${ displaystyle { sqrt {-5}} = i times { sqrt {5}}}$ . As die radikand `n veranderlike uitdrukking is, waarvan die teken nie deur konteks bekend is nie en beide positief en negatief kan wees, laat dit dan soos dit tans is. Jy kan die mees algemene identiteit gebruik ${ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt { pm {a}}} times { sqrt { pm {b}}} times { sqrt} }$ , wat geldig is vir alle regte getalle ${ displaystyle a}$ en ${ displaystyle b}$ , maar dit is oor die algemeen nie die bykomende kompleksiteit van die bekendstelling van die funksie van die teken nie.
Hierdie identiteit is slegs van toepassing indien die radikale dieselfde indeks het. Jy kan meer algemene radikale vermenigvuldig soos ${ displaystyle { sqrt {5}} times { sqrt [{3}] {7}}}$ deur hulle eers uit te druk met `n gemeenskaplike indeks. Om dit te doen, skakel die wortels tydelik na fraksionele eksponente: ${ displaystyle { sqrt {5}} keer { sqrt [{3}] {7}} = 5 ^ { frac {1} {2}} keer 7 ^ { frac {1} } {5frac {2} {6}} tye 7 ^ {frac {2} {6}} = 125 ^ { frac {1} {6}} keer 49 ^ { frac {1 } {6}}}$ . Pas dan die vermenigvuldigingsreël toe om hierdie produk gelykwaardig te maak ${ displaystyle { sqrt [{6}] {6125}}}$ .

Metode 5

Uittreksel die vierkantige faktore van die radikale

factorized `n onvolmaakte radikale uitdrukking in sy hooffaktore. Die faktore is die getalle wat vermenigvuldig om `n getal te skep (byvoorbeeld 5 en 4 is twee faktore van 20). As jy wil `n onvolmaakte radikale uitdrukking te breek, skryf al die faktore van dat die getal (of soveel as wat jy kan dink, al is dit `n groot) totdat jy die een wat `n volkome vierkant vind.

Lys byvoorbeeld al die faktore van die nommer 45: 1, 3, 5, 9, 15 en 45. 9 is `n faktor van 45 en dit is ook `n perfekte vierkant ( ${ displaystyle 9 = 3 ^ (2)}$ ): 9 x 5 = 45.

Verwyder al die veelvoude wat perfekte blokkies uit die radikale teken is. Die 9 is `n perfekte vierkant omdat dit die gevolg is van die vermenigvuldiging van 3 x 3. Verwyder dit van die radikale teken en plaas `n 3 voor, en laat die 5 binne die radikale teken. As jy die drie in die radikale teken plaas, vermeerder dit op sigself om weer 9 te gee, wat met 5 vermenigvuldig sal word om 45 te gee.

{ displaystyle 3 { sqrt {5}}}

dit is `n vereenvoudigde manier om uit te druk

{ displaystyle { sqrt {45}}}

daarom,

{ displaystyle { sqrt {45}} = { sqrt {9 times 5}} = { sqrt {9}} times { sqrt {5}} = 3 { sqrt {5}}}

Vind `n perfekte vierkant in die veranderlike. Die vierkantswortel van

{ displaystyle a ^ {2}}

sou wees

om

. As jy weet dat die veranderlike positief is, kan jy vergemaklik hierdie uitdrukking verder slegs as a. Die vierkantswortel van ${ displaystyle a ^ {3}}$ kan in die uitdrukking ontbind word ${ displaystyle { sqrt {a}} times a}$ . Dit is omdat eksponent somme wanneer veranderlikes vermenigvuldig word, sodat ${ displaystyle a ^ {2} times a = a ^ {3}}$ .

Daarom, die perfekte vierkant in die uitdrukking

{ displaystyle a ^ {3}}

hierdie is

{ displaystyle a ^ {2}}

Dit uittreksels uit die radikale teken al die veranderlikes wat volmaakte vierkante is. Uittreksel nou die veranderlike

{ displaystyle a ^ {2}}

van die radikale om dit in te skakel

displaystyle

. Die vereenvoudigde vorm van a

{ displaystyle a ^ {3}}

hierdie is

{ displaystyle | a | { sqrt {a}}}

Kombineer alle soortgelyke terme en vereenvoudig die rasionele uitdrukkings wat u hierdeur kry.

Metode 6

Rasionaliseer die noemer

Die kanonieke vorm vereis dat, indien moontlik, die deler wees `n heelgetal (of `n polinoom as dit `n onbepaalde getal is).

As die noemer `n enkele term onder `n radikaal is, soos ${ displaystyle { frac {[teller]} { sqrt {5}}}}$ , vermenigvuldig die teller en noemer deur genoemde radikale om as gevolg daarvan te verkry ${ displaystyle { frac {[teller] keer { sqrt {5}}} {{sqrt {5}} times { sqrt {5}}}}}$ = ${ displaystyle { frac {[teller] keer { sqrt {5}}} {5}}}$ .
In die geval van kubieke of hoofwortels, vermenigvuldig met die toepaslike krag van die radikaal om die rasionale noemer te verkry. As die noemer was ${ displaystyle { sqrt [{3}] {5}}}$ , vermenigvuldig die genommer en noemer deur ${ displaystyle { sqrt [{3}] {5}} ^ {2}}$ .
As die noemer saamgestel is uit `n som of aftrekking van vierkantswortels as ${ displaystyle { sqrt {2}} + { sqrt {6}}}$ , vermenigvuldig beide die teller en die noemer deur hul vervoeging, dieselfde uitdrukking met die teenoorgestelde operateur. daarom, ${ Display { frac {[teller]} {{ sqrt {2}} + { sqrt {6}}}} = { frac {[teller] keer ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}})) ({{sqm {2}} + { sqrt {6}}) times ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}})}}}$ . Gebruik die verskil van vierkante [(a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2] om die noemer te rasionaliseer en vereenvoudig die resultaat: ${ Display ({ sqrt {2}} + { sqrt {6}}) keer ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}}) = ({ sqrt {2}}) ^ {2} - ({ sqrt {6}}) ^ {2} = 2-6 = -4}$ .
Dit werk ook vir noemers ${ displaystyle 5 + { sqrt {3}}}$ omdat elke heelgetal `n vierkantswortel van `n ander heelgetal is. daarom, ${ Display { frac {1} {5 + { sqrt {3}}}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {(5 + { sqrt {3}}) keer (5 - { sqrt {3}}))) = { frac {5 - { sqrt {3}}} {5 ^ {2} - { sqrt {3 ^ {2}}}}} = frac {5 - { sqrt {3}}} {25-3}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {22}}}$
Dit werk vir `n som van vierkantige wortels soos ${ displaystyle { sqrt {5}} - { sqrt {6}} + { sqrt {7}}}$ . As hulle gegroepeer word as ${ displaystyle ({ sqrt {5}} - { sqrt {6}}) + { sqrt {7}}}$ en vermenigvuldig met ${ displaystyle ({ sqrt {5}} - { sqrt {6}}) - { sqrt {7}}}$ , die antwoord sal nie rasioneel wees nie, maar dit sal die vorm van die uitdrukking hê ${ displaystyle a + b times { sqrt {30}}}$ , waar ${ displaystyle a}$ en ${ displaystyle b}$ Hulle is rasioneel. Dan kan jy die proses herhaal met die vervoeging van ${ displaystyle a + b times { sqrt {30}}}$ , waar ${ displaystyle (a + b times { sqrt {30}}) times (a-b times { sqrt {30}})}$ Dit is `n rasionale nommer. Basies, as jy hierdie truuk een keer kan gebruik om die aantal radikale tekens in die noemer te verminder, kan jy dit herhaaldelik gebruik om hulle heeltemal uit te skakel.
Dit werk selfs met noemers wat hoër wortels het as ${ displaystyle { sqrt [{4}] {3}} + { sqrt [{7}] {9}}}$ . Vermenigvuldig die teller en noemer deur die vervoeging van die noemer. Ongelukkig is dit nie heeltemal duidelik wat die vervoeging van daardie noemer is of hoe dit gevind kan word nie. `N Goeie boek oor die teorie van algebraïese getalle sal op hierdie punt nuttig wees.

Nou het jy die noemer gerasionaliseer, maar die teller is nog in wanorde. Nou moet jy werk met die element waarmee die proses van rasionalisering van die noemer begin het, dit wil sê die komplekse konjugaat wat in die teller voorkom. Begin by brei die produk uit net soos jy met `n polinoomproduk sou wou hê. Bepaal of iets gekanselleer of vereenvoudig is en, indien moontlik, soortgelyke terme kombineer.

As die noemer `n negatiewe integro is, vermenigvuldig dit en die teller met -1 om dit positief te maak.

wenke

Daar is webwerwe wat u kan help om `n radikale uitdrukking te vereenvoudig. Al wat jy hoef te doen is om die vergelyking binne die radikale teken te skryf en druk Enter om die vereenvoudigde antwoord op te stel.
In die geval van eenvoudige probleme, hoef jy nie baie van hierdie stappe te doen nie. Vir die meer ingewikkelde, moet u dalk meer as een keer van hierdie stappe gebruik maak. Maak "eenvoudige" vereenvoudigings deurlopend terwyl u die probleem oplos en vergelyk u finale antwoord met die kriteria van die kanonieke vorm wat in die inleiding genoem word. As u antwoord kanoniek is, beteken dit dat u klaar is. Indien nie, sal een van hierdie stappe u vertel wat u moet doen om dit te doen.
Die meeste verwysings na "die voorkeur kanonieke vorm" vir `n radikale uitdrukking sluit ook komplekse getalle in ( ${ displaystyle i = { sqrt {-1}}}$ ). Selfs as dit as `i` geskryf word in plaas van `n radikale teken te gebruik, is dit raadsaam om dit nie in `n noemer te skryf nie.
Sommige van hierdie instruksies neem aan dat alle radikale vierkantige wortels is. Die algemene reëls is dieselfde vir die kubieke of hoër vlak wortels, hoewel sommige van hulle (veral die rasionalisering van die noemer) moeiliker kan wees om aansoek te doen. U moet ook besluit of u terme wil hê ${ displaystyle { sqrt [{3}] {4}}}$ of ${ displaystyle { sqrt [{3}] {2 ^ {2}}}}$ .
Sommige van hierdie instruksies gebruik verkeerd die term "kanonieke vorm" wanneer hulle eintlik net `n "normale vorm" beskryf. Die verskil is dat `n kanonieke vorm een van die uitdrukkings benodig ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$ of ${ displaystyle { sqrt {2}} + 1}$ , en sou die ander as onbehoorlik benoem. Op `n normale manier word aanvaar dat u in staat is om hierdie vorms as "natuurlik gelyke" nommers te herken, al is dit nie op dieselfde manier geskryf nie. Let daarop dat met "voor die hand liggend" die gebruik van slegs rekenkundige eienskappe (die som is kommutatief) in plaas van algebraïese (byvoorbeeld, ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ dit is `n nie-negatiewe wortel van ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ ). Ek hoop dat die lesers van hierdie artikel hierdie geringe misbruik van terminologie vergewe.
As hierdie instruksies lyk dubbelsinnig of teenstrydige, geld al konsekwent en duidelik en kies dan die pad wat van naderby lyk die manier waarop die radikale uitdrukkings word gebruik in jou teks stappe.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante