Hoe om implisiete differensiasie te maak

In berekening, wanneer u `n vergelyking vir en geskryf in terme van

conținut

Stappe
Metode 1onderskei eenvoudige vergelykings vinnig
Metode 2gebruik gevorderde tegnieke
Waarskuwings

x (as y = x -3x), is dit maklik om basiese differensiasie tegnieke te gebruik (wat wiskundiges ken as "eksplisiete differensiasie" tegnieke) om die afgeleide te vind. In die geval van vergelykings wat moeilik herrangskik kan word deur slegs een kant van die gelyke teken te plaas en aan te pas (soos x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), sal `n ander metode nodig wees. Met behulp van `n tegniek genaamd implisiete differensiasie, sal dit maklik wees om die afgeleides van vergelykings met veelvoudige veranderlikes te vind, solank jy al die basiese konsepte van die eksplisiete differensiasie!

stappe

Metode 1
Onderskei eenvoudige vergelykings vinnig

Prent getiteld Doen implisiete differensiasie Stap 1

Verskil die terme x soos altyd. As jy probeer om `n vergelyking van veelvoudige veranderlikes soos x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 te onderskei, kan dit moeilik wees om te weet waar om te begin. Gelukkig is die eerste stap van implisiete differensiasie die eenvoudigste een. Om te begin, onderskei eenvoudig die terme met x en die konstantes aan beide kante van die vergelyking volgens die reëls van gereelde differensiasie (eksplisiet). Vir nou, ignoreer die terme met en.
Kom ons probeer om die vorige eenvoudige vergelyking te onderskei. Die vergelyking x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 het twee terme met
x: x en -5x. As ons die vergelyking wil onderskei, moet ons hulle eers op die volgende manier oplos:
x + y - 5x + 8y + 2xy = 19
Drop die eksponent "2" in x om dit as `n koëffisiënt te plaas, skakel die
x by -5x en verander 19 keer 0)
2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

Prent getiteld Doen implisiete differensiasie Stap 2

Verskil die terme met en en plek "(dy / dx)" langs elkeen. In die volgende stap, onderskei die terme met en op dieselfde manier het jy dit met die terme van x gedoen. Hierdie keer voeg egter by "(dy / dx)" langs elkeen op dieselfde manier sal jy `n koëffisiënt byvoeg. Byvoorbeeld, as y verskille word, word dit 2y (dy / dx). Vir nou, ignoreer die terme wat beide x en y het.

In ons huidige voorbeeld sal die vergelyking so lyk: 2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0. Ons sal hierdie stap van differensiasie van en soos volg verrig:

2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

Laat die eksponent "2" in en plaas dit as `n koëffisiënt, skakel die en in 8y en plaas `n "dy / dx" langs elkeen.

2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0

Prent getiteld Doen implisiete differensiasie Stap 3

Gebruik die produkreël of die kwosiëntreël vir terme wat beide x en y het. Los terme op wat x en y is a bietjie ingewikkeld, maar as jy die produkreël en die kwosiënt vir differensiasie ken, sal jy geen probleem hê nie. As jy die terme van x en y vermenigvuldig, gebruik die produkreël ((f × g) `= f` × g + g × f `), wat die term vervang x deur f en die term en vir g. Aan die ander kant, as die terme x en y onder mekaar verdeel word, gebruik die kwosiëntreël ((f / g) `= (g × f` - g `× f) / g), vervang die term in die teller met f en die term in die noemer met g.

In ons voorbeeld, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0, het ons net een term wat beide x as en wat is 2xy. gegee dat x e en vermenigvuldig mekaar, moet ons die produkreël gebruik om hulle te onderskei soos volg:
2xy = (2x) (y) - plek 2x = f en y = g in (f × g) `= f` × g + g × f `
(f × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) `
(f × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2y (dy / dx))
(f × g) `= 2y + 4xy (dy / dx)

Deur dit terug te voeg na ons hoofvergelyking, sal ons dit kry 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

Prent getiteld Doen Implikitiewe Differensiasie Stap 4

Isolaat (dy / dx). Jy is amper klaar! Nou moet jy net die vergelyking vir (dy / dx) oplos. Dit lyk moeilik, maar oor die algemeen word dit nie in gedagte gehou dat die twee terme nie a en b wat vermenigvuldig word met (dy / dx) kan geskryf word as (a + b) (dy / dx) grcias na die verspreidende eienskap van vermenigvuldiging. Hierdie taktiek kan dit maklik maak om te isoleer (dy / dx). Stel al die ander terme aan die teenoorgestelde kant van die hakies en verdeel hulle dan tussen die terme tussen hakies langs (dy / dx).

In ons voorbeeld kan ons 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0 vereenvoudig soos volg:

2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y = 0

(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y - 2x + 5

(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Metode 2
Gebruik gevorderde tegnieke

Prent getiteld Doen implisiete differensiasie Stap 5

Koppel die waardes (x, y) om (dy / dx) vir enige punt te vind. Baie geluk! U het die vergelyking implisiet gedifferensieer, wat nie `n maklike taak vir beginners is nie! Deur hierdie vergelyking te gebruik om die helling (dy / dx) vir enige punt (x, y) te vind, is dit so eenvoudig om die waardes te verbind x e en vir die punt aan die regterkant van die vergelyking en los dan op (dy / dx).
Gestel ons wil byvoorbeeld die helling by punt (3, -4) vind vir die vorige vergelyking. Om dit te doen, moet ons 3 vervang
x en -4 by en, soos volg opgelos:
(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(2) (2) (4) + (4) + (4) + (4) +
(dy / dx) = (-2 (16) - 6 +5) / (2 (2 (3) (- 4))
(dy / dx) = (-32) - 6 +5) / (2 (2 (-12))
(dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
(dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48 of 0,6875.

Prent getiteld Doen implisiete differensiasie Stap 6

Gebruik die kettingreël vir funksies binne ander funksies. As dit gaan om berekeningsprobleme (insluitende implisiete differensiasieprobleme), is dit baie belangrik om die kettingreël te ken. Die kettingreël bepaal dat vir `n funksie F (x) wat geskryf kan word as (f of g) (x), die afgeleide van F (x) is gelyk aan f `(g (x)) g` (x). Vir probleme van implisiete differensiasie wat groter probleme het, beteken dit dat dit moontlik is om individuele "dele" van die vergelyking te onderskei en dan die resultaat te versamel.

Veronderstel ons moet die afgeleide van sonde (3x + x) vind as deel van `n groter implisiete differensiasie probleem vir die vergelyking sonde (3x + x) + y = 0. As ons sonde (3x + x) beskou, as "f (x)" en 3x + x as "g (x)", kan ons die differensiasie op die volgende manier vind:

f `(g (x)) g` (x)

(sin (3x + x)) `× (3x + x)`

cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x + x)

Prent getiteld Doen implisiete differensiasie Stap 7

Vir vergelykings met veranderlikes x, y, z, vind (dz / dx) en (dz / dy). Alhoewel dit nie algemeen in die basiese berekening is nie, kan sommige gevorderde toepassings die implisiete differensiasie van meer as twee veranderlikes vereis. Vir elke bykomende veranderlike moet u `n ekstra afgeleide met betrekking tot x vind. Byvoorbeeld, as u met die veranderlikes x, y, z werk, moet u (dz / dy) en (dz / dx) vind. Ons kan dit doen deur twee keer die vergelyking met betrekking tot x te differensieer. Die eerste keer sal ons `n (dz / dx) plaas elke keer as ons `n term met z en die tweede onderskei, sal ons `n (dz / dy) plaas elke keer as ons `n z onderskei. Dan sal dit `n kwessie van oplossing wees (dz / dx) en (dz / dy).

Gestel ons wil byvoorbeeld xz - 5xyz = x + y onderskei.

Laat ons eers die differensiasie maak ten opsigte van x en plek (dz / dx). Moenie vergeet om die produkreël toe te pas nie!

xz - 5xyz = x + y

3xz + 2xz (dz / dx) - 5yz - 5xy (dz / dx) = 2x

3xz + (2xz - 5xy) (dz / dx) - 5yz = 2x

(2xz - 5xy) (dz / dx) = 2x - 3xz + 5yz

(dz / dx) = (2x - 3xz + 5yz) / (2xz-5xy)

Nou, kom ons doen dieselfde vir (dz / dy)

xz - 5xyz = x + y

2xz (dz / dy) - 25xyz - 5xy (dz / dy) = 3y

(2xz - 5xy) (dz / dy) = 3y + 25xyz

(dz / dy) = (3y + 25xyz) / (2xz-5xy)