Hoe om berekeninge te verstaan

Die berekening is `n tak van wiskunde wat fokus op grense, funksies, afgeleides, integrale en oneindige reekse. Hierdie area vorm `n belangrike deel van wiskunde en vorm die basis van baie van die vergelykings wat fisika en meganika beskryf. U het dalk `n klas op die hoër vlak nodig om die berekening goed te verstaan, maar hierdie artikel kan u help om te begin en waaksaam wees vir belangrike begrippe sowel as tegniese perspektiewe.

conținut

Stappe
Metode 1hersien die basiese konsepte van die berekening
Metode 2verstaan die afgeleides
Metode 3verstaan die integrale
Wenke

stappe

Metode 1
Hersien die basiese konsepte van die berekening

Hou in gedagte dat berekening die studie is van hoe dinge verander. Calculus is `n tak van wiskunde wat na getalle en lyne kyk, gewoonlik uit die werklike wêreld, en beskryf hoe dit verander. Alhoewel dit dalk nie aan die begin van nut mag wees nie, is die berekening een van die takke van wiskunde wat die meeste in die wêreld gebruik word. Stel jou voor dat jy die gereedskap het om vas te stel hoe vinnig jou besigheid op `n bepaalde oomblik groei of om `n ruimtetuig te verloop en hoe vinnig dit brandstof verbruik. Calculus is `n belangrike instrument in ingenieurswese, ekonomie, statistiek, chemie en fisika, en het gehelp om baie uitvindings en ontdekkings van die werklike wêreld te skep.

Onthou dat funksies verhoudings tussen twee getalle is en gebruik word om verhoudings in die werklike wêreld te kaarteer. Funksies is reëls wat bepaal hoe getalle met mekaar verband hou en wiskundiges gebruik hulle om grafieke te skep. In `n funksie word elke waarde wat ingevoer word, `n resultaat opgelewer. Byvoorbeeld, by y = 2x + 4, elke waarde van "x" gee jou `n nuwe waarde van "en". As x = 2, dan y = 8- as x = 10, dan y = 24. Die hele berekeningstudies funksioneer om te sien hoe hulle verander, met behulp van funksies om verhoudings in die werklike wêreld te kaarteer.

Funksies word dikwels as f (x) = x + 3 geskryf. Dit beteken dat jy in die funksie f (x) altyd 3 byvoeg tot die nommer wat jy inskryf. "x". As jy 2 wil betree, skryf f (2) = 2 + 3, of f (2) = 5.

Funksies kan ook komplekse bewegings kaarteer. Byvoorbeeld, NASA het funksies wat die spoed van `n vuurpyl aandui, gebaseer op die hoeveelheid brandstofbrand, die windweerstand en die gewig van die skip.

Dink aan die konsep van oneindigheid. Oneindigheid is wanneer `n proses oor en oor herhaal word. Dit is nie `n spesifieke plek nie (jy kan nie oneindig nie), maar eerder is die gedrag van `n getal of vergelyking vir ewig gedoen. Dit is belangrik om die verandering te bestudeer: jy wil dalk weet hoe vinnig jou motor op `n sekere tyd beweeg, maar beteken dit op watter spoed jy in daardie huidige sekonde was? In daardie millisekonde? In daardie nanosekonde? U kan oneindig kleiner hoeveelhede tyd vind om besonder akkuraat te wees en dit is waar die berekening kom.

Verstaan die konsep limiete. `N Beperking dui aan wat gebeur wanneer iets naby die oneindigheid is. Neem die nommer 1 en verdeel dit met 2. Gaan dan voort om dit met 2 keer en weer te verdeel. 1 sou 1/2 word, dan 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ens. Elke keer word die getal meer en meer en kleiner, "nader" meer na nul. Maar waar sal dit eindig? Hoeveel keer moet jy met 2 verdeel om nul te kry? In die berekening, in plaas van om hierdie vraag te beantwoord, vestig jy `n limiet. In hierdie geval is die limiet gelyk aan 0.

Die grense is makliker om in `n grafiek te sien. Byvoorbeeld, dit is die punte wat `n grafiek amper aanraak, maar nooit doen nie.

Die grense kan `n getal wees, niks of selfs oneindig nie. Byvoorbeeld, as jy 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... vir ewig voeg, sal jou finale nommer oneindig groot wees. Die limiet sou oneindig wees.

Hersien die noodsaaklike wiskundige konsepte van algebra, trigonometrie en precalculus. Die berekening is gebaseer op baie van die vorms van wiskunde wat jy lankal geleer het. As jy hierdie onderwerpe volledig ken, sal jy die calculus baie makliker kan leer en verstaan. Sommige onderwerpe wat jy moet hersien, is:

algebra: verskillende prosesse verstaan en leer vergelykings en stelsels vergelykings op te los vir veelvuldige veranderlikes. Verstaan die basiese konsepte van die stelle. Kom meer te wete oor hoe om vergelykings te vergelyk.

Meetkunde: meetkunde is die studie van vorms. Verstaan die basiese konsepte van driehoeke, vierkante en sirkels, en hoe om dinge soos area en omtrek te bereken. Dit sluit hoeke, lyne en koördinaatstelsels in.

trigonometrie: trigonometrie is `n tak van wiskunde wat handel oor die eienskappe van sirkels en reghoeke. Leer hoe om trigonometriese identiteite, grafieke, funksies en inverse trigonometriese funksies te gebruik.

Koop `n grafiese sakrekenaar. Die berekening is ongelooflik moeilik om te verstaan sonder om te sien wat gedoen word. Grafiese sakrekenaars neem funksies op en maak hulle visueel, waardeur u beter kan verstaan wat u werk gaan doen. Dikwels kan jy perke op die skerm sien en afgeleides en funksies outomaties bereken.

Baie slimfone en tablette bied tans goedkoop, maar effektiewe programme om te grafiseer as jy nie `n volledige sakrekenaar wil koop nie.

Metode 2
Verstaan die afgeleides

Hou in gedagte dat die berekening gebruik word om die "onmiddellike verandering". Om te weet waarom iets op `n presiese oomblik verander, is die kern van die berekening. Byvoorbeeld, die berekening dui nie net die spoed van `n motor aan nie, maar ook hoeveel die spoed op enige gegewe oomblik verander. Dit is een van die eenvoudigste gebruike van berekening, maar dit is ongelooflik belangrik. Stel jou voor hoe nuttig hierdie kennis sou wees vir die spoed van `n ruimtetuig wat probeer om die maan te bereik!

Die vind van die oombliklike verandering word genoem "differensiasie". Die differensiaalberekening is die eerste van die twee hoof takke van die berekening.

Gebruik afgeleides om te verstaan hoe dinge oombliklik verander. "afgeleide" Dit is `n woord wat gesofistikeerd klink en angs inspireer. Die konsep self is egter nie so moeilik om te verstaan nie, maar dit beteken eenvoudig hoe vinnig iets verander. Die algemeenste afgeleides in die daaglikse lewe hou verband met spoed. Jy noem hom waarskynlik nie die "afgelei van die spoed", maar jy kan haar bel "versnelling".

Versnelling is `n afgeleide. Dit dui aan hoe vinnig iets verhoog of verminder die spoed, of hoe dit verander.

Hou in gedagte dat die tempo van verandering die helling is tussen twee punte. Dit is een van die belangrikste bevindings van die berekening. Die tempo van verandering tussen twee punte is gelyk aan die helling van die lyn wat hulle verbind. Dink aan `n basiese lyn, soos die vergelyking y = 3x. Die helling van die lyn is 3, wat beteken dat, vir elke nuwe waarde van "x", "en" word vermenigvuldig met 3. Die helling is dieselfde as die tempo van verandering: `n helling van 3 beteken dat die lyn met `n faktor van 3 verander vir elke verandering in "x". Wanneer x = 2, y = 6- wanneer x = 3, y = 9.

Die helling van `n lyn is die verander in "en" verdeel tussen die verandering in "x".

Hoe groter die helling, die lyn sal steiler wees. Daar kan gesê word dat steil lyne baie vinnig verander.

Hersien hoe om die helling van `n lyn te vind as jy dit nie goed onthou nie.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 10

Hou in gedagte dat jy die helling van geboë lyne kan vind. Om die helling van `n reguit lyn te vind is redelik eenvoudig: hoeveel verander dit? "en" vir elke waarde van "x"? Maar komplekse vergelykings met krommes, soos y = x, is baie moeiliker om te vind. U kan egter steeds die wisselkoers tussen enige twee punte kry. Trek `n lyn tussen hulle en bereken die helling om die tempo van verandering te vind.

Byvoorbeeld, in y = x, kan jy enige twee punte neem en die helling kry. Neem (1,1) en (2,4). Die helling tussen hulle sal gelyk wees aan (4-1) / (2-1) = 4/2 = 2. Dit beteken dat die tempo van verandering tussen x = 1 en x = 2 2 is.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 11

Maak die punte nader om `n meer akkurate tempo van verandering te kry. Hoe nader die twee punte is, hoe meer waarskynlik moet jy `n presiese antwoord hê. Kom ons sê jy wil weet hoe vinnig jou motor versnel net wanneer jy die versnellerpedaal druk. Jy moet nie die verandering in spoed tussen jou huis en die supermark meet nie. Jy moet die verandering in spoed meet die tweede nadat jy die versneller gedruk het. Hoe nader jou meting is op daardie oomblik, hoe meer akkuraat sal jou lesing wees.

Byvoorbeeld, wetenskaplikes bestudeer die spoed waarteen sommige spesies uitgesterf het om hulle te probeer red. Maar meer diere sterf dikwels in die winter as in die somer, dus is dit nie so nuttig om die tempo van verandering deur die jaar te bestudeer nie. Wetenskaplikes sal die tempo van verandering tussen nader punte vind, soos van 1 Julie tot 1 Augustus.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 12

Gebruik oneindig klein lyne om die "kits ritme van verandering" of die afgeleide. Dit is waar die berekening dikwels verwarrend word, maar dit is eintlik die gevolg van twee eenvoudige feite. Eerstens, jy weet dat die helling van `n lyn gelyk is aan hoe vinnig dit verander. Tweedens, jy weet dat hoe nader die punte op die lyn is, hoe meer akkuraat die lesing sal wees. Maar hoe kan jy die tempo van verandering in `n punt vind as die helling die verhouding tussen twee punte is? Die reaksie van die berekening: jy moet twee punte oneindig naby mekaar kies.

Dink aan die voorbeeld waarin jy voortgaan om 1 vir 2 oor en oor te verdeel, om 1/2, 1/4, 1/8, ens. Te kry. Op die langtermyn kry jy so nul dat die antwoord feitlik nul is. Hier is die punte so naby aan mekaar as wat hulle is "feitlik oombliklik". Dit is die aard van die afgeleides.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 13

Leer om `n verskeidenheid van afgeleides te bereken. Daar is baie verskillende tegnieke om `n afgeleide te vind, afhangende van die vergelyking, maar die meeste maak sin as jy die basiese beginsels van die afgeleides hierbo opgesom, onthou. Afgeleides is basies `n manier om die helling van `n lyn te vind "oneindig klein". Noudat jy die teorie van afgeleides ken, vind `n groot deel van die werk die antwoorde.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 14

Soek afgeleide vergelykings om die tempo van verandering te eniger tyd te voorspel. Gebruik van afgeleides om die tempo van verandering in `n punt te vind, is nuttig, maar die skoonheid van die berekening is dat dit jou toelaat om `n nuwe model vir elke funksie te skep. Byvoorbeeld, die afgeleide van y = x is Y = 2x. Dit beteken dat jy die afgeleide vir elke punt in die grafiek y = x kan vind deur dit in die afgeleide vergelyking te vervang. By punt (2, 4), waar x = 2 en y = 4, is die afgeleide 4, aangesien Y = 2 * (2).

Daar is verskillende notasies vir die afgeleides. In die vorige stap is die afgeleides gemerk met `n premiesimbool: vir die afgeleide van

{ displaystyle en,}

,jy moet skryf

{ displaystyle en ^ { prime}.}

Dit word genoem "Lagrange notasie".

Daar is ook nog `n gewilde manier om afgeleides te skryf. In plaas daarvan om die premiesimbool te gebruik, word dit geskryf

{ displaystyle { frac { mathrm {d}} {{mathrm {d}} x}}.}

Onthou dat die funksie

{ displaystyle y = x ^ {2}}

hang af van die veranderlike

{ displaystyle x.}

Dus skryf ons die afgeleide as

{ displaystyle { frac {{mathrm {d}} en} {{mathrm {d}} x}}}

,die afgeleide van

{ displaystyle en}

met betrekking tot ${ displaystyle x.}$ Dit word genoem "Leibniz notasie".

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 15

Onthou voorbeelde van afgeleides van die werklike wêreld as u dit steeds moeilik verstaan. Die maklikste voorbeeld is gebaseer op spoed, wat baie verskillende afgeleides bied wat ons elke dag sien. onthou: `n Afleiding is `n maatstaf wat aandui hoe vinnig iets verander. Dink aan die basiese eksperiment om `n marmer op `n tafel te rol, waarin jy meet hoe ver en hoe vinnig dit beweeg elke keer. Stel jou nou voor dat die marmer `n lyn op `n grafiek teken. Hier moet u die afgeleides gebruik om die oombliklike veranderinge op enige punt op die lyn te meet.

Hoe vinnig verander die ligging van die marmer? Wat is die tempo van verandering, of die afgeleide, van die beweging van die marmer? Hierdie afgeleide is wat ons noem "spoed".

Rol die marmer teen `n helling af en kyk hoe vinnig dit spoed kry. Wat is die tempo van verandering, of die afgeleide, van die snelheid van die marmer? Hierdie afgeleide is wat ons noem "versnelling".

Rol die marmer op `n pad wat op en af beweeg, soos `n rollercoaster. Hoe vinnig kry dit spoed afdraand en hoe vinnig verloor die spoed opdraande? Hoe vinnig beweeg dit presies halfpad opdraand op die eerste helling? Dit sou die tempo van oombliklike verandering, of afgeleide, van daardie marmer op daardie spesifieke punt wees.

Metode 3
Verstaan die integrale

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 16

Hou in gedagte dat jy die berekening moet gebruik om komplekse areas en volumes te vind. Met die berekening kan jy komplekse vorms meet wat gewoonlik te moeilik is. Byvoorbeeld, oorweeg om uit te vind hoeveel water in `n lang meer en op `n eienaardige manier is. Dit sal onmoontlik wees om elke liter water apart te meet of `n liniaal te gebruik om die vorm van die meer te meet. Die berekening laat toe om te bepaal hoe die rande van die meer verander en gebruik die inligting om uit te vind hoeveel water daarin is.

Om geografiese modelle te maak en die volume te bestudeer, gebruik die integrasie. Integrasie is die tweede hoof tak van berekening.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 17

Verstaan dat die integrasie die gebied onder `n grafiek vind. Die integrasie word gebruik om die spasie onder enige lyn te meet, waardeur die gebied op vreemde of onreëlmatige maniere bevind kan word. Beskou die vergelyking y = x, wat lyk soos `n reuse-U. Jy sal dalk wil uitvind hoeveel ruimte onder die U is en jy kan die integrasie gebruik om dit te vind. Alhoewel dit nutteloos kan lyk, dink aan die gebruike in die vervaardiging. U kan `n funksie maak wat lyk soos `n nuwe deel en gebruik die integrasie om die area van daardie deel te bepaal. Dit sal u help om `n bestelling vir die korrekte hoeveelheid materiaal te plaas.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 18

Hou in gedagte dat dit nodig is om `n area te integreer om te integreer. Jy kan nie net `n hele funksie integreer nie. Byvoorbeeld, y = x is `n diagonale lyn wat oneindig volg en jy kan dit nie alles integreer nie, want dit sal nooit eindig nie. Wanneer u funksies integreer, moet u `n area kies, soos alle punte tussen x = 2 en x = 5.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 19

Onthou hoe om die area van `n reghoek te vind. Verbeel jou jy het `n plat lyn op `n grafiek as y = 4. Om die area onder dit te vind, jy sal die oppervlakte van `n reghoek tussen y = 0 en y = 4. Dit is maklik om te meet vind, maar sal nooit werk vir geboë lyne hulle kan nie maklik reghoeke word nie.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 20

Let daarop dat die integrasie baie klein reghoeke voeg om die area te vind. As jy te nou op `n kromme fokus, sal dit plat lyk. Dit gebeur elke dag: jy kan nie die kromme van die Aarde sien nie, want ons is baie naby aan die oppervlak. Die integrasie skep `n oneindige aantal reghoeke onder `n kurwe wat so klein is dat hulle feitlik plat is, wat dit moontlik maak om hulle te meet. Voeg hulle by om die gebied onder `n kromme te kry.

Stel jou voor dat jy baie klein stukke onder die grafiek voeg en die breedte van elke stuk is amper nul.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 21

Vind uit hoe om integrale korrek te lees en skryf. Die integrale het 4 dele. `N Tipiese integraal lyk soos volg:

{ displaystyle int f (x) { mathrm {d}} x}

Die eerste simbool,

{ displaystyle int,}

dit is die simbool van integrasie (in werklikheid is dit `n verlengde S).

Die tweede deel,

{ displaystyle f (x),}

Dit is die funksie. Wanneer dit binne-in die integraal is, word dit genoem "integrasie".

Ten slotte, die

{ displaystyle { mathrm {d}} x}

Aan die einde sal dit jou vertel oor watter veranderlike jy gaan integreer. As die funksie

{ displaystyle f (x)}

hang af van

{ displaystyle x,}

jy moet dit ten opsigte daarvan integreer.

Onthou dat die veranderlike wat jy gaan integreer nie altyd sal wees nie

{ displaystyle x,}

,wees dus versigtig wat jy skryf.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 22

Leer om integrale te vind. Integrasie kom in baie opsigte voor en jy sal baie verskillende formules moet leer om elke funksie te integreer. Maar al volg die beginsels hierbo opgesom: die integrasie vind `n oneindige aantal reghoeke om dit by te voeg. Dit is die verskillende maniere om integrale te vind:

Integreer deur substitusie.

Integreer onbepaalde integrale.

Integreer deur dele.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 23

Hou in gedagte dat integrasie die differensiasie omkeer. Dit is `n onbetwisbare berekeningsreël en dit het tot baie wetenskaplike en tegnologiese vooruitgang gelei. Omdat die integrasie en differensiasie so nou verwant is, kan `n kombinasie van beide word gebruik om die tempo van verandering, versnelling, spoed, plek, beweging, ens te vind, ongeag van die inligting wat jy het.

Byvoorbeeld, onthou dat die afgeleide van snelheid versnelling is, dus jy kan snelheid gebruik om versnelling te vind. Maar as jy net die versnelling van iets weet (soos die voorwerpe wat as gevolg van swaartekrag val), kan jy dit integreer om die spoed te vind. Daarom, ongeag die data wat jy het, kan jy integrasie en differensiasie gebruik om meer uit te vind.

Prent getiteld Verstaan Calculus Stap 24

Hou in gedagte dat die integrasie ook die volume van driedimensionele voorwerpe kan vind. Draai `n plat vorm is `n manier om driedimensionele vastestowwe te skep. Stel jou voor om `n muntstuk op die tafel voor jou uit te draai: kyk hoe `n bol lyk om te draai. U kan hierdie konsep gebruik om die volume te vind in `n proses bekend as "volume per rotasie".

Hiermee kan jy die volume van enige vaste stof in die wêreld vind, solank jy `n funksie het wat dit weerspieël. Byvoorbeeld, kan jy `n funksie wat die onderkant van `n dam op te spoor en dan gebruik dit om die volume van die dam of hoeveel water hawens vind skep.

wenke

Verduidelik u probleme deur u onderwyser te raadpleeg.
Begin van die basiese beginsels.
Gee aandag in die klas.
Praktyk maak perfek, maak dus oefenprobleme in jou handboek en hersien die antwoorde om jou te help om die konsepte te verstaan.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante