Hoe om soortgelyke terme te kombineer

`N Radikale uitdrukking is `n algebraïese uitdrukking wat `n vierkantige (of kubieke of hoër orde) wortel insluit. Baie uitdrukkings kan dikwels dieselfde nommer beskryf, al lyk hulle baie anders (byvoorbeeld 1 / (√ (2) - 1) = √ (2) +1). Die oplossing hiervoor is om a te definieer "kanonieke vorm" verkies vir sekere uitdrukkings. As twee uitdrukkings, beide in kanonieke vorm, voortgaan om anders te lyk, beteken dit dat hulle nie eintlik ekwivalente uitdrukkings is nie. Wiskundiges het ingestem dat radikale uitdrukkings in kanonieke vorm moet:

conținut

Stappe
Metode 1volmaakte kragte
Metode 2omskep rasionele eksponente in radikale
Metode 3elimineer breuke van radikale
Metode 4kombineer radikale produkte
Metode 5uittreksel die vierkantige faktore van die radikale
Metode 6rasionaliseer die noemer
Wenke

Vermy breuke in radikale
Moet nie breuke eksponente gebruik nie
Vermy radikale in die noemers
Moenie radikale vermenigvuldig deur radikale nie
Slegs radikale vrye terme onder die radikale

`N Praktiese gebruik hiervoor is in die meervoudige keuring eksamens. As jy in `n eksamen `n probleem opgelos het, maar die antwoord nie ooreenstem met enige van die opsies nie, probeer om dit aan die kanonieke vorm te vereenvoudig. Omdat die skrywers van die eksamen gewoonlik die antwoorde in kanonieke vorm skryf, as u dieselfde in u eksamen doen, sal dit makliker wees om te besef watter van die antwoorde gelykstaande is aan u s`n. In eksamens van gratis antwoorde, instruksies "vereenvoudig die antwoorde" of "vereenvoudig al die radikale" Dit beteken dat studente hierdie stappe moet toepas totdat die antwoorde voldoen aan die bogenoemde vereistes. Dit het ook verskeie gebruike in die oplos van vergelykings, hoewel sommige vergelykings makliker is om op te los deur `n nie-kanonieke vorm te gebruik.

stappe

Indien nodig, hersien die reëls vir radikale manipulasie en eksponente (Hulle is presies dieselfde: die wortels is fraksionele kragte) aangesien die meeste van hulle nodig is vir hierdie proses. Kyk ook na die reëls om te manipuleer en vereenvoudig polinome en rasionele uitdrukkings aangesien dit ook nodig sal wees om vereenvoudigings in die proses te maak.

Metode 1
Volmaakte kragte

Prent getiteld Vereenvoudig radikale uitdrukkings Stap 1

Vereenvoudig alle radikale uitdrukkings wat volmaakte vierkante is. `N Volmaakte vierkant is die produk van enige getal wat met homself vermenigvuldig word, byvoorbeeld 81, wat die produk is van 9 x 9. Om `n perfekte vierkant wat onder `n radikaal is, te vereenvoudig, skakel bloot die radikale teken uit en skryf die nommer wat wees die vierkantswortel van die perfekte vierkant.

Byvoorbeeld, 121 is `n perfekte vierkant omdat 11 x 11 121 is. Daarom kan u √ (121) met 11 vereenvoudig deur die simbool van die vierkantswortel uit te skakel.
Om die proses makliker te maak, sal dit goed wees om die eerste twaalf perfekte vierkante 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x memoriseer wees 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

Prent getiteld Vereenvoudig radikale uitdrukkings Stap 2

Vereenvoudig alle radikale uitdrukkings wat `n perfekte kubus is. `N Volmaakte kubus is die produk van enige getal wat twee keer vermenigvuldig is, byvoorbeeld 27 is die produk van 3 x 3 x 3. Om `n radikale uitdrukking te vereenvoudig as daar `n perfekte kubus onder `n kubieke radikale teken is, verwyder die Radikale teken en skryf die getal wat onder die kubuswortel van die perfekte kubus is.

Byvoorbeeld, 343 is `n perfekte kubus omdat dit die produk is van 7 x 7 x 7. Gevolglik is die kubuswortel van die perfekte kubus van 343 eenvoudig 7.

Metode 2
Omskep rasionele eksponente in radikale

Jy kan ook die omgekeerde omskakeling doen, as jy verkies (baie keer is daar goeie redes om dit te doen), maar moenie terme in dieselfde uitdrukking meng nie, soos in hierdie geval: √ (5) + 5. In hierdie artikel word aanvaar dat jy sal gebruik Radikale notasie en jy sal die simbool (√n) gebruik om die vierkantswortel van ny (√n) vir die kubuswortel van n voor te stel.

Vind al die fraksionele eksponente en verander hulle na hul radikale ekwivalent, dit is, x = b-th wortel van x.

As jy `n breuk as `n indeks van `n radikaal het, moet jy ook daarvan ontslae raak. Byvoorbeeld, die wortel (2/3) van 4 = √ (4) = 2 = 8.

Omskep die negatiewe eksponente na hul ekwivalente breuk, dit is x = 1 / x.

Dit geld slegs vir konstante en rasionele eksponente. As u terme soos 2 het, laat dit soos dit is, selfs as die konteks van die probleem impliseer dat x `n fraksionele of negatiewe getal kan wees.

Kombineer alle soortgelyke terme en vereenvoudig die rasionele uitdrukkings wat voorkom as gevolg van hierdie kombinasie.

Metode 3
Elimineer breuke van radikale

Die kanonieke vorm vereis dat die wortel van `n breuk uitgedruk word in terme van wortels van heelgetalle.

Ondersoek die terme onder elke radikaal om te sien of enige breuke bevat. Indien wel, gaan voort met die volgende stap.

Vervang hulle met `n fraksie van twee radikale met die identiteit √ (a / b) = √ (a) / √ (b).

Moenie hierdie identiteit gebruik as die noemer negatief is nie of as dit `n veranderlike uitdrukking is wat negatiewe waardes kan neem. In hierdie geval vereenvoudig die breuk eers.

Vereenvoudig die perfekte blokkies wat jy as gevolg hiervan kry. Dit is omskep √ (5/4) na √ (5) / √ (4),

Maak enige ander nuttige vereenvoudiging, soos vereenvoudig komplekse breuke, kombineer soortgelyke terme, ens.

Metode 4
Kombineer radikale produkte

As jy `n radikale uitdrukking vermenigvuldig met `n ander, kombineer hulle in `n enkele radikaal Gebruik die eiendom: √ (a) * √ (b) = √ (ab). Byvoorbeeld, vervang √ (2) * √ (6) met √ (12).

Die vorige identiteit, √ (a) * √ (b) = √ (ab) is geldig vir nie-negatiewe radikale. Moenie dit toepas as a en b negatief is nie, aangesien jy dit foutief sal verseker dat √ (-1) * √ (-1) = √ (1). Die linkerkant is -1 per definisie (of ongedefinieerd as jy weier om komplekse getalle te gebruik), terwyl die regterkant +1 is. As a of b negatief is, eerste "fixes" sy teken verander √ (-5) deur i * √ (5). As die radikand `n veranderlike uitdrukking is waarvan die teken nie deur die konteks afgelei kan word nie en kan dit positief en negatief wees, dan, laat dit nou net soos dit is. Jy kan `n meer algemene identiteit gebruik soos √ (a) * √ (b) = √ (sgn (a)) * √ (sgn (b)) * √ (| ab |) wat geldig is vir alle reële getalle a en b, maar Dit is gewoonlik nie die moeite werd om meer kompleksiteit toe te voeg wanneer jy die tekenfunksie (sgn) betree nie.
Hierdie identiteit is slegs van toepassing indien die radikale dieselfde indeks het. U kan meer algemene radikale vermenigvuldig soos √ (5) * √ (7) deur hulle eers uit te druk deur `n algemene indeks. Om dit te doen, tydelik vat wortels te fraksionele eksponente: √ (5) * √ (7) = 5 * 7 = 5 * 7 = 125 * 49. Pas dan die produkreël wedstryd hierdie produk aan die sesde wortel van 6125.

Metode 5
Uittreksel die vierkantige faktore van die radikale

Prent getiteld Vereenvoudig radikale uitdrukkings Stap 3

factorized `n onvolmaakte radikale uitdrukking in sy hooffaktore. Die faktore is getalle wat vermenigvuldig om `n aantal te skep byvoorbeeld, 5 en 4 is twee faktore van die getal 20. Om `n onvolmaakte radikale uitdrukking ontplof, skryf al die faktore dat die getal (of alles wat jy kan dink, indien dit is `n groot getal) totdat jy een kry wat perfek vierkantig is.

Probeer byvoorbeeld al die faktore van die nommer 45: 1, 3, 5, 9, 15 en 45 te lys. 9 is `n faktor van 45 wat ook `n perfekte vierkant is (9 = 3). 9 x 5 = 45.

Prent getiteld Vereenvoudig radikale uitdrukkings Stap 4

Beweeg die veelvoude wat `n perfekte vierkant uit die teken van die radikale is. 9 is `n perfekte vierkant omdat dit die produk van 3 x 3 is. Beweeg die 9 uit die teken van die radikale en plaas dit voor dit, en laat die 5 onder die teken van die radikale. indien "repies" die drie weer onder die teken van die radikale, sal vermenigvuldig deur self `n 9 te maak, wat weer met 5 vermenigvuldig om die 45 weer te skep. 3 keer is die wortel van 5 eenvoudig `n vereenvoudigde weergawe van sê wortel van 45.

Daarom: √ (45) = √ (9 * 5) = √ (9) * √ (5) = 3 * √ (5).

Prent getiteld Vereenvoudig radikale uitdrukkings Stap 5

Vind `n perfekte vierkant in die veranderlike. Die vierkantswortel van om tot die tweede krag sou wees | a |. Jy kan volg dit vereenvoudig en verlaat eenvoudig om, slegs as jy weet dat die veranderlike positief is. Die vierkantswortel van om tot die derde krag kan afgebreek word in die vierkantswortel van om gekwadreer deur om (Dit is omdat wanneer die veranderlikes vermenigvuldig word, word die eksponente so dat om deur om kwadraat gelyke om na die emmer).

Daarom, die perfekte vierkant binne die uitdrukking om die kubus is om Hy vierkant.

Prent getiteld Vereenvoudig radikale uitdrukkings Stap 6

Beweeg al die veranderlikes wat perfekte blokkies uit die teken van die radikale is. Neem nou om kwadraat en beweeg dit uit die radikale se teken om dit om te skakel na `n | a | Gereelde. Die vereenvoudigde vorm van om die kubus is eenvoudig | a | wortel van om.

Dit kombineer alle soortgelyke terme en vereenvoudig die radikale uitdrukkings wat verkry word as gevolg van hierdie prosedure.

Metode 6
Rasionaliseer die noemer

Die kanonieke vorm vereis dat die deler wees `n heelgetal (of `n polinoom as dit onbepaalde veranderlikes bevat) indien moontlik.

As die deler is `n enkele term onder `n radikale teken, byvoorbeeld [sommige] / √ (5), vermenigvuldig dan die teller en noemer vir hierdie radikale te verkry [iets] * √ (5) / √ (5) * √ (5) = [iets] * √ (5) / 5.

Vir die hoogste kubus en wortels, vermeerder hulle met die krag wat ooreenstem met die radikale om die noemer `n rasionale getal te maak. As die noemer √ (5) is, vermenigvuldig dan die teller en die noemer deur √ (5).

As die noemer uit `n som of aftrekking van vierkantswortels bestaan, soos √ (2) + √ (6), vermenigvuldig dan die teller en die noemer deur die vervoeging daarvan: dieselfde uitdrukking maar met die teenoorgestelde operateur. Daarom: [ `n] / (√ (2) + √ (6)) = [sommige] (√ (2) -√ (6)) / (√ (2) + √ (6)) (√ (2 ) -√ (6)). Gebruik dan die identiteit van die vierkantverskil [(a + b) (ab) = ab] om die noemer te rasionaliseer, vereenvoudig (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)) = √ (2) - √ (6) = 2-6 = -4.

Dit werk ook vir noemers soos 5 + √ (3), want elke heelgetal is `n vierkantswortel van `n ander heelgetal. (5-√ (3)) / (5 + √ (3)) (5-√ (3)) = (5-√ (3)) / √ (3)) = (5-√ (3)) / (25-3) = (5-√ (3)) / 22]

Dit werk ook vir `n som van vierkantswortels, soos √ (5) -√ (6) + √ (7). As jy hulle as (√ (5) -√ (6)) + √ (7) groepeer en vermenigvuldig met (√ (5) -√ (6)) - √ (7), sal jou antwoord nie `n rasionale getal wees nie, maar dit sal die vorm a + b * √ (30), waar om en b Hulle is rasioneel. Jy kan dan herhaal die proses met die toegevoegde van `n + b * √ (30) en (a + b * √ (30)) (a-b * √ (30)) is rasionele. In wese, as jy hierdie truuk een keer kan gebruik om die hoeveelheid radikale tekens in die noemer te verminder, kan jy hierdie truuks verskeie kere gebruik om hulle almal uit te skakel.

Hierdie metode werk selfs vir denominators wat wortels van hoër graad bevat, byvoorbeeld vierde wortel van 3 plus sewende wortel van 9. Vermenigvuldig eenvoudig in teller en noemer deur die noemer vervoeg. Ongelukkig is dit nie onmiddellik duidelik wat die vervoeging van die noemer is of hoe om uit te vind nie. Dit is buite die omvang van hierdie artikel, maar u kan `n metode vind in `n goeie boek van algebraïese numeriese teorie.

Nou sal die noemer gerasionaliseer word, maar die teller sal `n gemors wees. Nou sal jy jou aanvanklike teller vermenigvuldig met sy vervoeg. dan brei die produk uit soos jy sou met `n produk van polinoom. Kontroleer of u terme kan kanselleer of vereenvoudig of soortgelyke terme kombineer indien moontlik.

As die noemer `n negatiewe heelgetal is, vermenigvuldig die teller en die noemer met -1 om dit positief te maak.

wenke

Daar is aanlyn webwerwe wat `n radikale uitdrukking outomaties kan vereenvoudig. Skryf net die vergelyking onder die radikale teken neer en nadat u Enter ingevoer het, sal die vereenvoudigde antwoord verskyn.
Vir eenvoudige probleme is dit nie moontlik om baie van hierdie stappe toe te pas nie. Vir ingewikkelde probleme moet sommige van hulle meer as een keer toegedien word. Maak vereenvoudigings "eenvoudige" voortdurend terwyl u die probleem oplos en u finale antwoord na die kanonieke vorm van die aanvanklike slagspreuk kontroleer. As jou antwoord kanoniek is, beteken dit dat jy klaar is. As dit nie kanoniek is nie, kan jy enige van hierdie stappe volg om te sien wat jy moet doen om dit kanoniek te maak.
Mees verwysings na die "kanonieke vorm verkies" Vir radikale uitdrukkings, geld hulle ook vir komplekse getalle (i = √ (-1)). Dit is altyd beter om `n "i" in die noemer, selfs al is dit geskryf as "i" en nie met die radikale teken nie.
Sommige dele van hierdie instruksies gebruik die term verkeerd "kanonieke vorm" wanneer hulle in werklikheid slegs die "normale manier". Die verskil is dat die kanonieke vorm die gebruik van 1 + √ (2) of √ (2) +1 benodig. Die ander moet as onbehoorlik gemerk word. Deur normale vorm te aanvaar, word aanvaar dat die leser helder genoeg is om te erken dat albei is "natuurlik ekwivalent" aangesien hoewel die getalle nie tipografies identies is nie (waar wanneer hulle sê "voor die hand liggend" beteken slegs die toepassing van rekenkundige eienskappe, [byvoorbeeld die kommutatiewe eienskap van die som] en nie algebraïese eienskappe nie [√ (2) is `n nie-negatiewe wortel van x-2]). Die leser sal weet hoe om hierdie geringe misbruik van terminologie te verskoon.
In sekere dele van hierdie instruksies word aanvaar dat alle radikale vierkantige wortels is. Die algemene beginsels geld ook vir kubusse en hoërvlakkragte, hoewel sommige van hulle (veral die rasionalisering van die noemer) moeiliker kan wees om aansoek te doen. U sal ook moet besluit of u terme soos √ (4) of √ (2) wil gebruik (dit kan wissel na gelang van die outeur van die handboek).
As hierdie opdragte dubbelsinnig of teenstrydig is, pas dan al die konsekwente en ondubbelsinnige stappe toe en kies dan die vorm wat die meeste ooreenstem met die radikale uitdrukkings van die handboek wat u gebruik.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante