dmylogi.com

Hoe om die hoek tussen twee vektore te vind

Wiskundiges en grafiese programmeerders moet dikwels die hoek tussen twee vasgestelde vektore vind. Gelukkig het die formule om hierdie berekening uit te voer nie iets meer gevorderd nodig as `n skalaarproduk nie. Alhoewel dit makliker is om die redenasie agter hierdie in twee dimensies te verstaan, kan u die formule na vektore uitbrei met enige aantal komponente.

stappe

Deel 1
Vind die hoek tussen twee vektore

Prent getitel Vind die hoek tussen twee vektore Stap 01
1
Identifiseer vektore Noteer al die inligting wat u oor die twee vektore het. Hier sal ons aanvaar dat u slegs die definisie van die vektor het in terme van sy dimensionele koördinate (ook genoem komponente). As jy reeds die lengte van `n vektor (sy grootte) ken, kan jy van die volgende stappe weglaat.
  • Voorbeeld: die tweedimensionele vektor of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}= (2,2). vektor v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= (0,3). Dit kan ook geskryf word as of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}= 2Ek + 2j en v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= 0Ek + 3j = 3j.
  • Terwyl ons voorbeeld tweedimensionele vektore gebruik, dek die instruksies hieronder vektore met enige aantal komponente.
  • Prent getitel Vind die hoek tussen twee vektore Stap 02
    2
    Skryf die kosinusformule neer. Om die hoek θ tussen twee vektore te vind, begin met die formule om die cosinus van die hoek te vind. U kan hierdie formule in die volgende gedeelte van die artikel leer of net skryf:
  • cosθ = (of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||)
  • ||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| middel "die lengte van die vektor of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}".
  • of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}dit is die skaleire produk (of puntproduk) van die twee vektore wat hieronder uiteengesit word.
  • Prent getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 03
    3
    Bereken die lengte van elke vektor. Trek `n regte driehoek wat vanaf die "x" -komponent van die vektor, sy "y" -komponent en die vektor self begin. Die vektor vorm die skuinssy van die driehoek, sodat ons die lengte van die Pythagorese stelling kan gebruik. As gevolg hiervan, hierdie formule strek maklik na vektore met enige aantal komponente.
  • ||of|| = u1 + of2. As `n vektor meer as twee komponente het, hou net aan om + te voeg3 + of4 + ...
  • Dus, vir `n tweedimensionele vektor, ||of|| = √ (u1 + of2).
  • In ons voorbeeld, ||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}|| = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.
  • Prent getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 04
    4
    Bereken die skalaarproduk van die twee vektore. Jy het waarskynlik al hierdie metode van vektorvermenigvuldiging geleer, ook bekend as skalaarproduk. Om die skalaarproduk in terme van vektorkomponente te bereken, vermenigvuldig die komponente in elke rigting en voeg dan al die resultate by.
  • Vir rekenaargrafika-programme, raadpleeg die wenke voordat u verder gaan.
  • In wiskundige terme, of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= u1v1 + of2v2, waar u = (u1, of2). As die vektor meer as twee komponente het, hou bloot by + u by3v3 + of4v4...
  • In ons voorbeeld, of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= u1v1 + of2v2 = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Dit is die skalaarproduk van die vektor of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}en v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}.
  • Prent getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 05
    5
    Vervang die resultate in die formule. Onthou, cosθ = ((of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}} -• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||). Nou weet jy die skalaarproduk en die lengte van elke waarde. Gee hierdie resultate in hierdie formule om die cosinus van die hoek te bereken.
  • In ons voorbeeld, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
  • Prent getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 06
    6
    Vind die hoek gebaseer op die cosinus. Jy kan die acos- of cos-funksie van jou sakrekenaar gebruik om die hoek θ van `n bekende cosθ-waarde te vind. Vir sommige resultate kan u die hoek oplos op grond van eenheidsirkel.
  • In ons voorbeeld, cosθ = √2 / 2. Skryf "boë (√2 / 2)" in jou sakrekenaar om die hoek te vind. U kan ook die hoek θ in die eenheidsirkel vind waar cosθ = √2 / 2. Dit is waar vir θ = /4 of 45º.
  • Deur alles bymekaar te voeg, sal die finale formule wees: hoek θ = arcsine ((of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||))

    • Deel 2
    Definieer die hoekformule



    Prent getiteld Word `n Kollege Professor Stap 17
    1
    Verstaan ​​die doel van hierdie formule. Hierdie formule is nie afgelei van die bestaande reëls nie. In plaas daarvan is dit geskep as `n definisie van die skalaarproduk van twee vektore en die hoek tussen hulle. Hierdie besluit was egter nie willekeurig nie. As ons die basiese meetkunde onthou, kan ons die rede sien waarom hierdie formule aanleiding gee tot intuïtiewe en bruikbare definisies.
    • Die voorbeelde wat hieronder beskryf word, gebruik tweedimensionele vektore omdat hulle die mees intuïtiewe is om te gebruik. Vektore met drie of meer komponente het eienskappe wat met `n baie soortgelyke algemene formule gedefinieer word.
  • Prent getitel Vind die hoek tussen twee vektore Stap 08
    2
    Kyk na die kosinestelling. Neem `n gewone driehoek met die hoek θ tussen sye a en b, en aan die teenoorgestelde kant van c. Die Cosine Stelling dui aan dat c = a + b -2abcos (θ). Dit is eenvoudig afgelei van die basiese meetkunde.
  • Prent getitel Vind die hoek tussen twee vektore Stap 09
    3
    Koppel twee vektore om `n driehoek te vorm. Teken `n paar 2D vektore op papier, vektore a&# 8407- en b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}},met die hoek θ tussen hulle. Teken `n derde vektor tussen hulle om `n driehoek te vorm. Met ander woorde, teken `n vektor c&# 8407 as om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} +c→{ displaystyle { overrightarrow {c}}}= b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}.Hierdie vektor c→{ displaystyle { overrightarrow {c}}}= om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} -b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}.
  • Prent getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 10
    4
    Skryf die Cosine Stelling vir hierdie driehoek. Gee die lengte van die sye van ons "driehoekvektor" in die kosine stelling:
  • ||(a - b)|| = ||om|| + ||b|| - 2||om|| ||b||cos (θ)
  • Prent getitel Vind die hoek tussen twee vektore Stap 11
    5
    Skryf dit met behulp van die skalaarproduk. Onthou dat `n skalaarproduk die vergroting is van een vektor wat in `n ander geprojekteer word. Die skaleire produk van `n vektor op sigself benodig geen projeksie nie, aangesien daar geen verskil in rigting is nie. Dit beteken dat a&# 8407- • om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}= ||om||. Gebruik hierdie inligting om die vergelyking te herskryf:
  • (om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} -b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}) • (om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} -b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}) = om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} +b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}} -2||om|| ||b||cos (θ)
  • Prent getiteld Vind die hoek tussen twee vektore Stap 12
    6
    Herskryf dit in die familieformule. Brei die linkerkant van die formule uit en vergemaklik dan die formule om hoeke te kry.
  • om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} -om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}} -b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} +b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}= om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} +b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}} -2||om|| ||b||cos (θ)
  • - om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}} -b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}= -2||om|| ||b||cos (θ)
  • -2 (om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}) = -2||om|| ||b||cos (θ)
  • om→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}= ||om|| ||b||cos (θ)

    • wenke

    • Om die vergelyking te vervang en vinnig op te los, gebruik hierdie formule vir enige paar tweedimensionele vektore: cosθ = (u1 • v1 + of2 • v2) / (√ (u1 • u2) • √ (v1 • v2)).
    • As jy in `n rekenaargrafika-program werk, sal jy waarskynlik net bekommerd wees oor die rigting van die vektore en nie oor hul lengte nie. Volg hierdie stappe om die vergelykings te vereenvoudig en jou program te bespoedig:
    • Normaliseer elke vektor sodat die lengte is 1. Om dit te doen, verdeel elke komponent van die vektor met sy lengte.
    • Neem die skalaarproduk van die genormaliseerde vektore in plaas van die oorspronklike vektore.
    • Omdat die lengte gelyk is aan 1, verlaat die terme van die lengte uit jou vergelyking. Jou finale vergelyking vir die hoek is boë (of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}).
  • Op grond van die cosinusformule kan ons vinnig uitvind of die hoek akuut of stomp is. Begin met cosθ = (of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||):
  • Die linker en regterkant van die vergelyking moet dieselfde teken hê (positief of negatief).
  • Aangesien die lengtes altyd positief is, moet die cosθ dieselfde teken as die skalaarproduk hê.
  • Dus, as die skalaarproduk positief is, is die cosθ positief. Ons is in die eerste kwadrant van die eenheidsirkel, met θ < π / 2 of 90º. Die hoek is skerp.
  • As die skalaarproduk negatief is, is die cosθ negatief. Ons is in die tweede kwadrant van die eenheidsirkel, met π / 2 < θ ≤ π of 90º < θ ≤ 180º. Die hoek is stomp.
    • Deel op sosiale netwerke:

    Verwante
    Hoe om die area van `n parallelogram te berekenHoe om die area van `n parallelogram te bereken
    Hoe om die Moment te berekenHoe om die Moment te bereken
    Hoe om die Fourier-transform van `n funksie te berekenHoe om die Fourier-transform van `n funksie te bereken
    Hoe om `n vektor in sy komponente te ontbindHoe om `n vektor in sy komponente te ontbind
    Hoe om uit te vind of twee lyne parallel isHoe om uit te vind of twee lyne parallel is
    Hoe om die oppervlakte van `n vierkant te bepaal deur die lengte van die diagonaal te gebruikHoe om die oppervlakte van `n vierkant te bepaal deur die lengte van die diagonaal te gebruik
    Hoe om die vektorproduk van twee vektore te vindHoe om die vektorproduk van twee vektore te vind
    Hoe om die grootte van `n vektor te vindHoe om die grootte van `n vektor te vind
    Hoe om loodregte vektore in twee dimensies te vindHoe om loodregte vektore in twee dimensies te vind
    Hoe om die netto krag te vindHoe om die netto krag te vind
    » » Hoe om die hoek tussen twee vektore te vind
    © 2024 dmylogi.com