Hoe om die Fourier-transform van `n funksie te bereken

Fourier-transformasies kan maklik gevang word as sekere stappe gevolg word met `n versigtig georganiseerde ritme. Die Fourier-transformasies vorm die basis van baie dele van die moderne beskawing. Dit sluit in mobiele kommunikasie en digitale fotografie, lasers en optika. Die Fourier-transform het in ander instrumente vertak, soos diskrete Fourier-transformasies, wavelette (bekend as JPEG- en MPeg-lêers), patroonherkenning, finansiering, mediese skanderings en vele ander gebruike.

stappe

WikiHowFou01.jpg" klas ="beeld ligkas">

Leer wat `n periodieke funksie is. `N Periodieke funksie herhaal sy vorm binne `n bekende tydsinterval. Dit is, f ( t) = f ( t + nT), waar n is `n heelgetal.
Hierdie tussenposes word periodes genoem. In die vorige verhouding, T Dit is die tydperk.

Leer die basiese idee van die Fourier-transform in jou eie taal.

Enige periodieke funksie kan ontbind word, dit kan geskryf word in terme van `n sekere aantal basiese sinusoïede funksies met eenvoudige tydperke.

Elke sinusoid funksie het die frekwensie van `n heelgetal wat `n veelvoud van die basiese frekwensie is.

WikiHowFou02.jpg" klas ="beeld ligkas">

Bogenoemde vergelyking sê dat enige periodieke funksie geskryf of uitgebrei kan word as die totale som van:

`N Konstante waarde, 1/2om₀, ook die DC waarde genoem, en `n aantal sinusvormige funksies. Afhangende van die oorspronklike funksie, kan `n deel van die uitbreiding nul wees.

ω₀ is die basiese sirkelfrekwensie wat maklik vanaf die basiese tydperk bereken kan word T.

Dit bly net om te bereken om₀ en `n formule wat die geheel skep om_N en die geheel b_N. Jy doen dit deur die ortogonaliteitseienskap van die sinusoidale funksies te gebruik.

Leer die betekenis van funksies "ortogonale". Die ortogonale funksies is loodreg op mekaar. Dit beteken dat, as u enige twee funksies neem, sê ons f ( t) en g ( t), van `n stel van hulle, dan:

WikiHowFou03.jpg" klas ="beeld ligkas">

ortogonaliteit

Sinusoid funksies is `n soortgelyke groep ortogonale funksies.

Vergelyk dit met die basiese idee van loodregte vektore, waar die skalaarproduk gelyk is aan nul. Die skalaarproduk is die som van die komponentprodukte in pare van twee vektore. Hier, in plaas van die som, moet `n integraal bereken word.

Weet die verskil tussen a "vektor" en a "fasor".

`N Vektor dra `n punt in `n reguit lyn na `n ander punt.

`N Fasor roteer `n vektor om `n punt met `n sekere sirkel frekwensie ω. `N Fasor is `n roterende vektor.

WikiHowFou07.jpg" klas ="beeld ligkas" titel ="Roterende Vektor">

Let daarop dat wanneer `n vaste-lengte-vektor rondom `n punt draai, sy projeksie, sy skaduwee op die ware as, geleidelik verander van `n maksimum waarde na nul en dan na `n maksimum negatiewe getal en terug na nul en terug na `n maksimum positiewe waarde.

Die lengte van die projeksie van die roterende vektor, wat op die denkbeeldige as geskadu is, verander op sinusvormige wyse.

WikiHowFou05.jpg" klas ="beeld ligkas" titel ="Fourier-reeks in komplekse vorm">

Prentjie-titel Fourier-reeks in komplekse vorm

Dit kom tot die gevolgtrekking dat `n sinusoïed geskryf kan word as `n fasor en op hierdie manier is dit makliker om `n Fourier-reeks te hanteer. Vergelyk dit met die sinusvormige vorm. Al die bekommernisse oor om₀, om_N en b_N Hulle is verwyder. Daar is slegs een faktor om_k Dit moet bereken word. Dit word gedoen deur `n eenvoudige integraal van f ( t) wat al die koëffisiënte terselfdertyd verskaf.

Interpreteer die uitbreiding vir f ( t). Wat is nie bekend in hierdie uitbreiding nie?

Jy moet `n oneindige aantal faktore bereken om_k.

Al die faktore om_k kan maklik bereken word uit die integrasie van f ( t) om sodoende die hele stel van hulle te gee.

In plaas van die uitdrukking "stel", die notasie {a_k }.

{ `n_k } staan bekend as die spektrum van f ( t).

f ( t) is eintlik die sintese van `n oneindige aantal fasors van verskillende lengtes wat met frekwensies roteer wat in ooreenstemming is met die basiese frekwensie ω₀ van f ( t) in beide rigtings, kloksgewys en antikloksgewys, aangesien Ek loop tussen negatiewe heelgetalle sowel as positiewe mense.

Kyk na die paar formules as `n transform in plaas van as die uitbreiding van `n reeks. Wanneer jy het f ( t), dan het jy om_k. En omgekeerd, wanneer jy dit het om_k, jy sal kry f ( t). Die waardes van om_k is die getransformeer f ( t). Die waarde van f ( t) is die inverse transform van om_k. Dit is geskryf as:

WikiHowFou06-1.jpg" klas ="beeld ligkas" titel ="Fourier Pair">

WikiHowFou08-3.jpg" klas ="beeld ligkas" titel ="nota">

wel: Dit lyk dalk of daar twee is domeine. f ( t) is in die tyd domein, maar die faktore om_k hulle is in die domein van heelgetalle. Daarom transformeer die Fourier-uitbreiding een domein na `n ander, en omgekeerd.

Om hierdie rede word gesê dat dit `n getransformeerde is "aaneenlopend in tyd".

Mense wat golwe studeer, gebruik `n ossilloskoop om die deurlopende golf betyds in ag te neem en gebruik `n spektrumanaliseerder om die lyne of spektra van die betrokke golf in ag te neem.

WikiHowFou09-1.jpg" klas ="beeld ligkas">

Sien die mees algemene voorbeeld. Dit is `n reghoekige blinde wat gereeld oop en toemaak. Of dit kan `n horlosie wees deur gereeld `n tydstempel op `n gebeurtenis te plaas. Dit is `n trein van pulse van vaste duur.

Dit is die maklikste voorbeeld wat `n mens kan bereken met behulp van sekondêre calculus kennis, aangesien, binne die integraal, f ( t) is gelyk aan een vir `n deel en gelyk aan nul vir ander dele, en jy moet die integraal van `n eksponensiële funksie, wat gelyk is aan homself onafhanklik van die koëffisiënt, bereken. Op daardie vlak is jy bekend met die omskakeling van `n komplekse eksponensiële funksie in `n sinusoïde. Wat oorbly, is wat `n funksie is sinc. eenvoudig sinkroniseer ( x) = sonder ( x) / x. Dit verander die skaal van `n sinusvormige funksie totdat dit sy hoek bereik, soortgelyk aan `n persentasie.

WikiHowFou10.jpg" klas ="beeld ligkas">

Die sinchronisasie funksie as die kromme

Teken die kromme van |omk | om hul pynlike spronge te waardeer.

elke "lob" Die sinkronisasie funksie is gevul met `n sekere aantal spektrumlyne.

Maak elke pols van die "trein" kleiner word die aantal lyne in die spektrum verhoog, en dit lyk digter en lyk asof dit eintlik `n deurlopende sinkfunksie was en nie meer `n diskrete een nie.

Let daarop dat u nou die uitbreiding van die Fourier-reeks van `n periodieke funksie as `n tweedomein-transformeer waarneem. Wat nog nagekom moet word, is wat die transformasie van `n nie-periodieke funksie is.

WikiHowFou11.jpg" klas ="beeld ligkas" titel ="Fourier-reeks in komplekse vorm">

Bekragtig jou verwagting dat die uitbreiding van `n nie-periodieke funksie in die vorm van `n integraal in plaas van `n som sal wees.

Jy het reg dat dit die Fourier integraal in teenstelling met die Fourier reeks.

Daarom kan die Fourier-transformasie vir deurlopende funksies betyds `n Fourier-reeks of `n Fourier-integraal wees.

WikiHowFou12.jpg" klas ="beeld ligkas">

Oorweeg `n enkele reghoekige pols. Jy kan daardie pols sien as `n reghoekige blind net een keer oop en toe maak. Of as `n trapmotor aanskakel en dan afskakel.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante