Hoe om heelgetalle van 1 tot N te voeg

Heeltalle is getalle sonder breuke of desimale komponente. As `n wiskundeprobleem vereis dat `n sekere getal heelgetalle van 1 tot `n spesifieke N-waarde bygevoeg word, is dit nie nodig om elke waarde by te voeg nie. In plaas daarvan kan die vergelyking gebruik word om tyd, moeite en gesondheid te bespaar (N (N + 1)) / 2

conținut

Stappe
Gebruik som van 1 tot n om die som van heelgetalle tussen twee getalle te vind
Wenke
Waarskuwings

, waar N die hoogste getal in jou stel is.

stappe

Prent getiteld Som die integrale van 1 tot N Stap 1 op

Definieer die hoogste getal wat as N toegevoeg sal word. Voeg heelgetalle van 1 by enige nommer in N vereis dat u hierdie nommer as geheel en positief op sigself definieer. As herinnering is heelgetalle nommers wat nie desimale of breuke kan hê nie. Dit kan ook nie negatief wees nie.
Byvoorbeeld, laat ons sê dat ons al die heelgetalle van 1 tot 100 wil byvoeg. In hierdie geval gebruik ons 100 as ons N-waarde omdat dit die laaste getal in die stel is, of met ander woorde die hoogste getal wat bygevoeg moet word.

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 2 op

Vermenigvuldig N deur (N + 1) en verdeel met 2. Wanneer u die integerwaarde van N gedefinieer het, tik dit in die vergelyking (N (N + 1)) / 2. Hierdie vergelyking vind die som van al die heelgetalle tussen 1 en N.

In ons voorbeeld sal ons 100, ons waarde vir N, in die vergelyking voorstel. Dus (N (N + 1)) / 2 word (100 (100 + 1)) / 2.

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 3 op

Los dit op om die antwoord te vind. Die finale waarde wat u van hierdie vergelyking verkry, verteenwoordig die som van al die getalle tussen 1 en u waarde vir N.

Kom ons los ons voorbeeldprobleem op:

(100 (100 +1)) / 2 =

(100 (101)) / 2 =

(10100) / 2 =

5050. Die som van alle heelgetalle van 1 tot 100 is 5050.

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 4 op

Verstaan hoe die vergelyking afgelei word (N (N + 1)) / 2. Kom ons verwys na ons voorbeeld probleem. Skei in twee groepe geestelik Stel 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 100, een van 1 tot 50 en `n ander van 51 tot 100. As die toevoeging van die eerste getal in die eerste groep (1) die afgelope paar in Die tweede groep (100), jy kry 101. Jy kry ook 101 as jy 2 tot 99, 3 tot 98, 4 tot 97, ens. byvoeg. As ons elke nommer van die eerste toewys aan die ooreenstemmende nommer in die tweede groep dus 50 pare getalle al voeg dieselfde verkry: 101. Dus, 50 × 101 = 5050, is die som van heelgetalle vanaf 1 tot 100 Let daarop dat 50 die helfte van 100 is en 101 is 100 + 1. Trouens, hierdie waarneming verifieer die som van enige positiewe heelgetal. Die bewerkings van sy komponente kan in twee groepe gebreek word en dan kan die getalle van hierdie groepe aan elkeen toegewys word sodat die som van elke paar dieselfde resultaat gee. Hou in gedagte dat onewe getalle `n nommer sal verlaat, maar dit sal nie die finale uitslag beïnvloed nie.

Oor die algemeen kan gesê word dat vir enige getal N die som van die getalle van 1 tot N gelyk is aan (N / 2) (N + 1). Die vereenvoudigde vorm van hierdie vergelyking is (N (N + 1)) / 2, ons vergelyking van som van heelgetalle.

Gebruik som van 1 tot N om die som van heelgetalle tussen twee getalle te vind

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 5 op

Besluit of jy die som wil insluit of uitsluit. Gewoonlik in plaas van om jou te vra om die som van `n stel heelgetalle van 1 na `n sekere getal te vind, sal jy gevra word om die som van `n stel getalle tussen N te vind.₁ en N₂, waar N₁ is> N₂ en albei is> 1. Die proses om hierdie som te vind is relatief eenvoudig, maar voor die begin moet dit bepaal of die som eksklusief sal wees of nie. Met ander woorde, as dit N insluit₁ en N₂ of slegs die heelgetalle tussen hulle, aangesien die proses effens verander na gelang van hierdie onderskeid.

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 6 op

Om die som van heelgetalle tussen twee getalle N te vind₁ en N₂, Vind die som van die kleinste N waarde afsonderlik en trek dit af. Gewoonlik is alles wat jy moet doen, die som van die kleinste N waarde van die som van die grootste N waarde af om jou antwoord te vind. In elk geval, Soos hierbo genoem, is dit belangrik om te weet of dit op eksklusiewe wyse bygevoeg word of nie. Die som van die getalle ingesluit vereis dat 1 van die waarde van N afgetrek word₂ voordat dit in die vergelyking ingesluit word, terwyl die byvoeging van uitsluitende getalle vereis word dat 1 van die waarde van N afgetrek word₁.

Kom ons sê dat jy gevra word om die som te vind ingesluit van die nommers tussen N₁ = 100 en N₂ = 75. Met ander woorde, jy moet 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 vind. Om dit te doen moet jy die som van heelgetalle van 1 na N vind₁ en trek dan die som van heelgetalle van 1 na N af₂ - 1. Onthou dat wanneer u nommers byvoeg, u 1 van N moet aftrek₂, Los dit op as volg:

(N₁(N₁ + 1)) / 2 - ((N₂-1) ((N₂-1) + 1)) / 2 =

(100 (100 +1)) / 2 - (74 (74 +1)) / 2 =

5,050 - (74 (75)) / 2 =

5,050 - 5,550 / 2 =

5,050 - 2,775 = 2,275. Die som van ingesluit getalle heelgetalle tussen 75 en 100 is 2275.

Kom ons voeg nou nommers by eksklusiewe. Die vergelyking is dieselfde, behalwe dat in hierdie geval 1 van N afgetrek word₁ in plaas van N₂:

((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 - (N₂(N₂ + 1)) / 2 =

(99 (99 +1)) / 2 - (75 (75 +1)) / 2 =

(99 (100)) / 2 - (75 (76)) / 2 =

9.900 / 2 - 5.700 / 2 =

4,950 - 2,850 = 2,100. Die eksklusiewe som van heelgetalle tussen 75 en 100 is 2,100.

Prent getiteld Som die heelgetalle van 1 tot N Stap 7 op

Verstaan hoe hierdie proses werk. Dink aan die som van heelgetalle van 1 tot 100 as 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 en die som van heelgetalle van 1 tot 75 as 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75. Om die som van heelgetalle tussen 75 en 100 te vind, beteken om 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 te vind. Die somme van 1 - 75 en 1 - 100 is dieselfde tot 75 - op hierdie punt is die som van 1 - 75 dit stop en die som van 1 - 100 gaan voort met ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Om hierdie rede kan die integer som van 1 - 75 van die heelgetalsom van 1 - 100 afgetrek word Isoleer die heelgetalsom van 75 - 100.

In ieder geval, indien nommers ingesluit is, moet die som van 1-74 gebruik word in plaas van die som van 1-75 om seker te maak dat 75 op sigself in die finale som ingesluit is.

Net so moet jy die som van 1 - 99 in plaas van die som van 1 tot 100 gebruik om uit te maak dat 100 nie by die som ingesluit is nie. Die som van 1 - 75 kan gebruik word omdat dit van die som van 1 - 99 afgetrek word, uitsluit 75 van die finale som.

wenke

Die resultaat is altyd heelgetal omdat beide n en n + 1 gelyk is en met 2 gedeel kan word.
Som (a + b) = som (1 + b) - som (1 + (a-1))
In opsomming: Som (1 + n) = n (n + 1) / 2

waarskuwings

Alhoewel dit nie baie moeilik is om negatiewe getalle te veralgemeen nie, is hierdie gids uitsluitlik vir alle positiewe heelgetalle N, waar die minimum waarde van N 1 is.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante