Hoe om te bepaal of `n oneindige reeks konvergent is

Oneindige reeks kan oorweldigend en ingewikkeld wees omdat dit moeilik is om te visualiseer. Dit is baie moeilik om met `n eenvoudige inspeksie te sien of `n reeks konvergent is of nie - `n paar honderd eeue gelede sou dit ure lank getoets het om `n enkele vraag op te los. Maar nou, danksy briljante wiskundiges, het ons konvergensiekriteria om te bepaal of `n reeks konvergeer of nie, wat baie prakties is. Hierdie toetse word gebruik om te bepaal of `n reeks konvergent of divergent is, om nie die som te bereken nie. Maak seker jy het ook `n ordentlike kennis van berekening.

conținut

Stappe
Wenke
Waarskuwings

stappe

Prent getiteld Bepaal of `n oneindige reeks die stap 1 omskakel

Doen die eerste basiese toets. Daar is `n duidelike stelling wat verklaar dat as die som tot oneindigheid van `n funksie f konvergeer, dan is die limiet van die funksie f 0. Byvoorbeeld, kom ons sê dat ons die funksie x ^ 2 het. Dit het geen limiet nie, dus die som na Oneindigheid verskil. In die funksie 1 / x is die limiet egter 0, dus moet ons voortgaan. As die limiet nie gelyk is aan nul nie, sal ons dadelik weet dat die reeks divergent is. LET WEL: Die gesprek is nie waar nie: as die limiet nul is, beteken dit nie dat die reeks konvergent is nie. Ons sal meer toetse moet doen.

Prent getiteld Bepaal of `n oneindige reeks die stap 2 omskep

Soek vir meetkundige reeks. Dit is `n baie duidelike en maklik om stelling te vind, dus jy moet altyd kyk. `N Meetkundige reeks is `n oneindige som, waar die formule r ^ k is, waar k veranderlik is en r groter is as -1 en minder as 1. Die meetkundige reeks sal altyd konvergent wees. Daarbenewens kan jy selfs die som van die reeks met die formule 1 / (1-r) bereken.

Prent getiteld Skryf `n Kersfees Speel Stap 4

Soek vir p-reeks. Die p-reeks is opsommings van funksies met die vorm 1 / (x ^ p), waar x enige getal is. Die stelling bepaal dat as p groter as een is, dan is die reeks konvergent en as p minder of gelyk is aan een, is die reeks divergent. Dit beteken dat in ons eerste voorbeeld 1 / x divergeer- soos 1 / (x ^ 1), en in hierdie geval p = 1. Dit heet harmoniese reeks. 1 / (X ^ 2) konvergeer omdat 2 groter is as 1.

Wat om te doen indien geen van bogenoemde toetse werk nie. As `n toets onvolledig is of blykbaar irrelevant is, probeer om `n ander toets, soos die konvergensiekriteria, te gebruik. Dit is nie altyd voor die hand liggend om eers te probeer nie - die oefening sal jou beter besluite maak, maar daar is geen gevestigde metode om vas te stel watter kriteria jy moet kies nie.

Direkte vergelykingskriterium ("vergelykingstoets"). Gestel ons het twee stelle positiewe terme: a (n) en b (n). Dan, i) as die oneindige som van b (n) konvergeer en a (n) minder is as b (n) (vir `n voldoende groot n), dan is die som van a (n) ook konvergeer. ii) Indien b (n) afwyk en a (n)>b (n), dan verskil `n (n) ook. Byvoorbeeld, dink ons het die reeks 2 / x-ons kan dit vergelyk met 1 / x. Aangesien ons reeds weet dat 1 / x afwykend is en omdat 2 / x > 1 / x, dit volg dat 2 / x ook afwyk. Dus, die basiese metode is om `n bekende reeks te gebruik om te bepaal of die onbekende reeks konvergent of divergent is.

Prent getiteld Bepaal of `n Oneindige Reeks Konvergeer Stap 4Bullet1

Kriterium van vergelyking vir stap tot by die grens van die kwosiënt ("limiet vergelykingstoets"). As `n (n) en b (n) reeks positiewe terme is en die limiet van a (n) / b (n) bestaan en groter is as 0, sal beide reekse konvergent wees of albei reekse sal uiteenlopend wees. Weereens, dit vereis die gebruik van `n bekende reeks. Die metode bestaan gewoonlik uit die keuse van `n tweede reeks waarvan die groter krag gelyk is aan die groter krag van die reeks wat aan ons gegee is. As u byvoorbeeld die reeks 1 / (x ^ 3 + 2x + 1) gee, is dit redelik om dit met 1 / (x ^ 3) te vergelyk.

Prent getiteld Bepaal of `n Oneindige Reeks Konvergeer Stap 4Bullet2

Kriterium van die integrale van Cauchy ("integrale toets"). Aanvaar dat `n funksie positief is, aaneenlopend en afneem vir `n x groter as of gelyk aan een. Dus, die oneindige reeks f (n) is konvergent indien: die integraal van 1 tot oneindig van f (x) bestaan - andersyds sal dit divergent wees as die integraal nie bestaan nie. So basies integreer dit die funksie en bereken die limiet tot oneindigheid. As dit bestaan, dan is die reeks konvergent - as dit nie bestaan nie, dan is die reeks divergent.

Prent getiteld Bepaal of `n Oneindige Reeks Konvergeer Stap 4Bullet3

Kriterium van Leibniz ("afwisselende reeks toets"). As `n (k)>a (k + 1)>0 vir `n voldoende groot k-waarde en die limiet van a (n) is 0, dan is die wisselende reeks (-1) ^ n a (n) konvergent. Sit makliker as jy `n wisselende reeks het (`n reeks waar elke term sy teken verander), skakel dan die afwisselende gedeelte van die funksie uit en bereken die limiet van wat oorbly. As die limiet bestaan, dan is die reeks konvergent.

Kriteria van d`Alembert, kriterium van die kwosiënt of kriterium van die verhouding ("verhoudingstoets"). Gegee `n oneindige reeks a (n), moet jy (n + 1) die algemene term vir die volgende term in die reeks vind. Bereken dan `n (n + 1) / a (n), gebruik `n kontinuiteitsmodule indien nodig. Bereken die limiet van a (n + 1) / a (n) - as die limiet bestaan, kan dit jou een van drie dinge vertel. 1) As die limiet minder is as een, dan is die reeks konvergent. 2) As die limiet groter is as een, dan is die reeks divergent. 3) As die limiet gelyk is aan een, dan is die toets nie afdoende en kan niks oor die konvergensie van die reeks vasgestel word nie.

Dit is die belangrikste konvergensiekriteria en is uiters nuttig. As nie een van hierdie werke werk nie, is dit heel waarskynlik dat die probleem onoplosbaar is of dat jy `n fout gemaak het. Hierdie kriteria kan toegepas word op meer dinge soos kragreekse, Taylor-reeks en vele ander. Dit is baie handig om hierdie kriteria te ken, want daar is regtig geen eenvoudiger manier om te bepaal of daar konvergensie is of nie.

wenke

Kontroleer altyd die limiet en let op meetkundige reekse of p-reekse voordat u `n vergelykingskriterium gebruik. Dit kan jou baie tyd en moeite bespaar.

waarskuwings

Moenie die sakrekenaar vir alle probleme gebruik nie.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante