Hoe om die Laplace-transform van `n funksie te bereken

Die Laplace-transform is `n integrale transform wat toelaat dat `n differensiaalvergelyking `n eenvoudiger (met geluk) algebraïese vergelyking word, wat dit makliker maak om op te los.

conținut

Stappe
Metode 1
Metode 2
Metode 3
Metode 4
Wenke

Terwyl jy Laplace transform tabelle kan gebruik, is dit nie `n slegte idee om te weet hoe om self die transformasie te maak nie.

stappe

Vind uit of jy die eensydige of bilaterale Laplace-transform van die funksie probeer vind. As die tipe Laplace-transform nie gespesifiseer word nie, kan u aanvaar dat u die eensydige weergawe moet bereken.

`N Unilaterale Laplace-transform word gedefinieer as:

`N Bilaterale Laplace-transform word gedefinieer as:

Voer die funksie in, f (t), in die definisie van die Laplace-transform.

Metode 1

terminologie

Neem die "Laplace Transforms" in ag. In deel is dit `n stelsel vir die omskakeling van tydafhanklike domeinverhoudings in `n stel vergelykings uitgedruk in terme van die Laplace-operateur s. Dan beïnvloed die "komplekse algebra manipulasies" die oplossing van die oorspronklike probleem in die Laplace-domein of s in plaas van die tyd domein:
Die toepassing van Laplace transforms is analoog aan die gebruik van logaritmes om sekere tipes wiskundige bewerkings te vereenvoudig. Wanneer logaritmes gebruik word, word die getalle omskep in magte van 10 of
e (natuurlike logaritmes). As gevolg van die transformasies word die vermenigvuldigings en wiskundige afdelings onderskeidelik deur optelling en aftrekking vervang.

Net so, toe te pas wat jy Laplace-transform analise stelsels wat in lineêre gewone differensiaalvergelykings kan beskryf word in die tydgebied oorwin sommige van die kompleksiteit in die oplossing van hierdie vergelykings in die tydgebied. Daarbenewens:

Die Laplace-transform behels die integrasie van 0 tot die oneindige van `n tydveranderlike f (t) wat bereik word deur vermenigvuldiging f (t) deur e.

f (t) is die toegepaste funksie wat gedefinieer moet word vir alle positiewe waardes van t.

s is `n komplekse algebraïese veranderlike wat gedefinieer word as s = a + jω, waar j = sqrt (-1), so jy sal deelnommers gebruik denkbeeldige.

Die simbool ek (j in elektriese ingenieurswese) word gebruik om √ -1 voor te stel. Daarom, byvoorbeeld, √ (-4) = 2i. Aan die gedenomineerde nommer ek of 1ek o xi, dit word eenvoudig imaginêre nommer genoem.

`N Gebruik vir die komplekse vliegtuig bekend as die plat s is om die wortels van die vergelyking te visualiseer wat die gedrag van `n stelsel grafies beskryf (die kenmerkende vergelyking). Die vergelyking word gewoonlik as `n polinoom in die parameter uitgedruk s van die Laplace transform. Daarom is dit bekend as die vliegtuig s.

Die komplekse vliegtuig wat Argand diagramme gebruik, toon die plat z, waar z = x + iy en kan transformasies gebruik z bykomend tot Laplace-transformasies. In wiskunde en seinverwerking word die getransformeerde z omskep `n diskrete sein in die tyd domein, wat `n reeks reële en komplekse getalle is, in `n voorstelling in die domein van die komplekse frekwensie. Dit kan beskou word as `n diskrete tyd-ekwivalent van die Laplace-transform. Hierdie ooreenkoms word ondersoek in die teorie van berekening in die tydskaal. Deur die bilinêre transformasie, die vliegtuig kompleks s (van die Laplace-transform) word op die plat kompleks gekarteer z (van die getransformeerde z).

Z = a + ib, r = e ^ (i theta), a = ware deel van z, b = denkbeeldige deel van z, r = module van z, theta = argument van z, en a en b is reële getalle. Alhoewel hierdie kartering (noodwendig) nie-lineêr is, is dit nuttig omdat dit die hele as kaarteer jΩ van die vliegtuig s oor die eenheidsirkel in die vliegtuig z- dit is dat die as jΩ is in die omgewing van konvergensie van die Laplace-transform.

Metode 2

Los die transformasie op

Voer die integrasie uit deur gebruik te maak van die integrasie deur dele. Afhangende van die funksie f (t), moet u dalk baie keer integrasie deur dele uitvoer om die integraal ten volle te integreer.

As jy die bilaterale Laplace-transform gaan bereken, vervang die 0 met -∞

Voeg die limiete by die resultaat. Skryf die vergelyking wat vervang word t met oneindigheid, skryf dan die negatiewe resultaat van dieselfde vergelyking, hierdie keer vervang t met 0. Vereenvoudig dit soveel as moontlik, onthou die volgende waardes:

Hersien jou antwoord met behulp van `n Laplace transform-tabel.

Metode 3

Diskontinuïteitse funksies

`N Diskontinue funksie kan geskryf word as:

waar c is `n konstante en a en b kan konstantes of funksies van t. Alhoewel hierdie voorbeeld slegs twee dele bevat, is daar dalk `n eindige getal daarvan.
2

Skryf die som van die Laplace-transforms van elke deel van die diskontinuïteitse funksie, met behulp van die gespesifiseerde grense in plaas van die gewone 0 tot ∞.
3

Bereken die Laplace transforms soos hierbo getoon. Onthou om die korrekte limiete in plaas van 0 en ∞ te vervang.
Hierdie voorbeeld veronderstel dit
a en b is konstant - die resultaat sal ingewikkelder wees as dit funksies van t
4

Vereenvoudig die resultaat so veel as wat jy kan.

Metode 4
Gebruik die eienskappe van die Laplace-transformasies
1

Probeer om `n Laplace-transform van `n funksie af te lei as dit baie ooreenstem met `n ander funksie of meer as een wie se transformasie jy ken. Byvoorbeeld:
Die Laplace-transform van `n lineêre kombinasie van funksies is dieselfde lineêre kombinasie vir die Laplace-transformasies.
Die Laplace transform van
tf (t) is gelyk aan -F `(s), waar F (s) is die Laplace transform van f (t) en F `(s) is die afgeleide daarvan.
Die Laplace transform van
f `(t) is gelyk aan sF (s) -f (0).
Die Laplace transform van
e ^ (at) f (t) is gelyk aan F (s-a).
Die Laplace-transform van `n twee-funksie konvolusie
f en g is gelyk aan die produk van sy Laplace transformasies.
2

Gebruik die verskillende bekende eienskappe van die Laplace-transforms om hulle af te lei deur die vorige stappe te gebruik. Dit is ook nuttig om die betekenis agter elke eiendom te ken.
3

Ondersoek hierdie vereenvoudigde algemene stelling: Msgstr "Die Laplace transform van
f (t) is gelyk aan die funksie F van s "en skryf:laplace {f (t)} = F (s).
Net so, die Laplace-transform van `n funksie
g (t) sal geskryf word: laplace {g (t)} = G (s).
wenke
Laplace-transformasies het baie toepassings in wiskunde, fisika, optika, elektriese ingenieurswese, beheeringenieurswese, seinverwerking en waarskynlikheidsleer. Dit is ongeveer 1872 uitgevind in `n werk op waarskynlikheid. In fisika word dit gebruik om lineêre stelsels, soos elektriese stroombane, harmoniese ossillators, optiese toestelle en meganiese stelsels te analiseer.
Wys meer ... (1)

Deel op sosiale netwerke:

Verwante