Hoe om die Mandelbrot-stel handmatig te teken

Die Mandelbrot-stel bestaan uit twee punte wat in `n komplekse vlak geteken word om a te vorm fraktal: `n indrukwekkende vorm of vorm waarin elke deel `n klein kopie van `n geheel is. Die pragtige en ongelooflike beelde versteek in die Mandelbrot stel was moontlik om te sien in die 1500`s te danke aan die verstandhouding dat Rafael Bombelli het denkbeeldige getalle, maar dit was nie tot Benoit Mandelbrot en ander begin verken fraktale met die hulp van die rekenaars

conținut

Stappe
Wenke
Waarskuwings

wat die geheim van die heelal geopenbaar het.

Noudat dit bestaan, kan jy dit op `n primitiewe manier nader: handmatig. Hier is `n metode om `n gewone voorstelling van die hele sien, net om te verstaan hoe dit gedoen word, dan kry jy `n dieper waardering van die vertoë wat gedoen kan word met behulp van baie sagteware beskikbaar open source of jy kan `n besigtig CD-ROM en a DVD

stappe

Verstaan die basiese formule, dikwels uitgedruk as z = z + c. Dit beteken eenvoudig dat vir elke punt in die Mandelbrot-heelal wat jy wil sien, die berekening van z totdat een of twee toestande voorkom - dan kleur om te wys hoeveel berekeninge gemaak is. Moenie bekommerd wees nie! Dit sal met die volgende stappe meer verstaanbaar wees.

Het 3 potlode of kryt van verskillende kleure, of merkers Met viltpunt, plus a potlood of swart potloodpen om die rand te maak. Die rede waarom die drie kleure nodig is, is omdat die eerste benadering gemaak word met nie meer as 3 iterasies nie (slaag of met ander woorde, gebruik die formule tot 3 keer per punt):

Met `n merker swart, teken trek `n raad drie in `n ry, 3 op 3 blokkies op `n stuk papier papier.

Merk (ook in swart) die vierkant van die middel (0, 0). Dit is die waarde van die konstante (c) vanaf die punt in die presiese middelpunt van die vierkant. Nou is elke vierkant 2 eenhede breed. So voeg of trek 2 af na die waardes van x y en van elke vierkant, met x die eerste nommer e wees en die tweede nommer wees. Wanneer dit gedoen word, sal dit lyk soos in die prentjie, as jy die selle na die kruispunt volg, moet die waardes van Y (die tweede getal) dieselfde wees. As jy die onderstaande selle volg, is die waardes van X (die eerste nommer) Hulle moet dieselfde wees.

Bereken die eerste pas of iterasie van die formule. Soos jy is die rekenaar (jy is regtig, was die oorspronklike betekenis van die woord "persoon wat bereken") Jy kan dit self doen. Begin met die volgende veronderstellings:

Die aanvanklike waarde van z van elke vierkant is (0, 0). Wanneer die absolute waarde van z vir `n gegewe punt groter is as of gelyk aan 2, word daardie punt (en die ooreenstemmende vierkant) daarvan gesê ontsnap uit die Mandelbrot-stel. As dit gebeur, kleur die vierkant volgens die aantal herhalings van die formule wat u op daardie punt toegepas het.

Kies die kleure wat u vir stap 1, 2 en 3 sal gebruik. U sal die kleur rooi, groen en blou onderskeidelik vir die doeleindes van hierdie artikel gebruik.

Bereken die waarde van z vir die boonste linkerhoek van bord drie in lyn, met die aanname van `n aanvangswaarde van z van 0 + 0i of (0, 0) (sien Wenke om hierdie voorstellings beter te verstaan). Ons gebruik die formule z = z + c soos beskryf in die eerste stap. Jy sal dit vinnig sien, in hierdie geval, z + c dit is eenvoudig c, omdat nul kwadraat nul is. En wat is c vir hierdie vierkant? (-2, 2).

Bepaal die absolute waarde van hierdie punt - die absolute waarde van `n komplekse getal (a, b) is die vierkantswortel van a + b. Nou, soos ons vergelyk met `n bekende waarde: 2, ons kan verhoed dat vierkantige wortels geneem word deur + b met 2 te vergelyk, wat gelyk is aan 4. In hierdie berekening, a = -2 en b = 2.

([-2] + 2) =

(4 +4) =

8 is veel groter as 4.

U het ontsnap uit die Mandelbrot-stel na die eerste berekening, dus die absolute waarde is groter as 2. Kleur dit met die pen wat u vir stap 1 gekies het.

Mandelbrot_set_419.jpg" klas ="beeld ligkas"> Prent getiteld Mandelbrot_set_419

Doen dieselfde vir elke vierkant op die bord, behalwe vir die middelste vierkant, wat nie van die Mandelbrot-stel vir die derde stap sal ontsnap nie (ook nooit sal dit ontsnap nie). U moet dus slegs die kleur van stap 1 gebruik vir al die eksterne blokkies en die kleur van stap 3 vir die middelste vierkant.

Trek `n vierkant so drie keer so groot, 9 vir 9, maar handhaaf nog steeds `n maksimum van 3 iterasies.

Begin met die derde lyn of ry af, want hier word dit interessant.

Die eerste element, (-2, 1) is groter as 2 (omdat (-2) + 1 blyk te wees 5) Kleur dit dan rooi uit, aangesien dit ontsnap uit die Mandelbrot-stel in die eerste pas.

Die tweede element, (-1,5, 1) blyk nie groter as 2 te wees nie. Dit pas die formule vir die absolute waarde toe, x + y, met x = -1.5 en y = 1:

(-1.5) = 2.25

1 = 1

2.25 + 1 = 3.25, minder as 4, dus die vierkantswortel is minder as 2.

So gaan voort die tweede slaag, z + c bereken deur die kortpad (x-y, 2xy) vir z (sien wenke vir hoe hierdie kortpad is afgelei), x = -1,5 voort en y = 1:

(-1.5) - 1 keer 2,25 - 1, wat is 1.25-

2xy, aangesien x -1.5 e en y 1 is, word dit 2 (-1.5), wat produseer -3.0-

Dit gee jou `n z van (1,25, -3)

Voeg nou by c vir hierdie sel (voeg x by x, y tot y) wat (-0.25, -2)

Toets of die absolute waarde nou groter as 2 is: bereken x + y:

(-25) = 0,0625

-2 = 4

0.0625 + 4 = 4.0625, is die vierkantswortel groter as 2, want hierdie waarde ontsnap na die tweede iterasie: dit is die eerste groen!

Soos jy alreeds met die berekeninge vertroud is, kan jy soms sê watter een van die Mandelbrot-stel ontsnap net deur na die getalle te kyk. In hierdie voorbeeld het die y-komponent `n grootte van 2, wat as vierkante en die waarde van die ander getalle vierkantig sal word, groter as 4. Enige getal groter as 4 sal `n vierkantswortel groter as 2 hê. Sien die onderstaande advies vir `n meer gedetailleerde verduideliking.

Die derde element met `n waarde van c (-1, 1) nie breek die eerste slaag, omdat beide 1 en -1 te kry vierkantswortel is 1, x + y is 2 z + c dan bereken, met behulp van die kortpad (xy , 2xy) vir z:

(-1) -1 word 1-1, wat 0-

2xy is dan 2 (-1) = -2-

z = (0, -2)

Voeg c gee (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)

Dit bly dieselfde absolute waarde as voorheen (die vierkantswortel van twee, ongeveer1.41) - voortgaan met `n derde iterasie:

([-1]) - ([- 1]) word 1-1, wat 0 is (nog een keer) ...

Maar nou is 2xy 2 (-1) (-1), 2 is positief, wat `n z-waarde van (0, 2) tot gevolg het

Voeg c by (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), wat `n a + b van 10, veel groter as 4 het.

Daarom ontsnap dit ook. Kleur die sel met die derde kleur en gaan voort met die volgende een, want al drie iterasies is op hierdie punt voltooi.

Die rede vir die gebruik van slegs drie kleure word blykbaar hier `n probleem, want iets wat na slegs drie iterasies ontsnap word dieselfde (0, 0) gekleur na wat nooit ontsnap nie - natuurlik sal jy niks sien nie "fout" van Mandelbrot op hierdie vlak van detail.

Gaan voort met die berekening van elke sel totdat jy die maksimum aantal iterasies (of die aantal kleure wat jy gebruik: 3 in hierdie voorbeeld) ontsnap of bereik het, ten tye van kleur. Net soos die matriks van 9 by 9 3 herhalings in elke vierkant hou ... Dit blyk korrek te wees!

Herlei dieselfde matriks weer met meer kleure (iterasies) om die volgende lae te wys, of beter, teken `n veel groter matriks vir `n projek van langer duur. Kry meer akkurate beelde deur:

Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533.jpg" klas ="beeld ligkas">

Prent getiteld Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533

Verhoog die aantal selle, jy het 81 per kant. Sien die ooreenkoms van die 9 by 9 matriks hierbo, maar die baie sagter rande in die sirkel en ovaal.

Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797.jpg" klas ="beeld ligkas">

Prent getiteld Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797

Verhoog die aantal kleure (iterasies) - jy het 256 skakerings rooi, groen en blou vir `n totaal van 768 kleure in vergelyking met 3. Nou kan jy die rand van die bekende sien "meer " van Mandelbrot (of "fout " afhangende van hoe jy dit soek). Die onderste kant is die hoeveelheid tyd wat dit neem, as jy elke herhaling in 0 sekondes kan bereken, wat ongeveer 2 uur per sel of naby Mandelbrot is. Alhoewel dit `n relatief klein deel van die 81 by 81-matriks is, sal dit nog `n jaar waarskynlik neem om dit te voltooi, selfs deur die gebruik van baie ure per dag. Dit is waar die rekenaar se hardeskyf handig is.

wenke

Waarom z = (x-y, 2xy)?

om vermeerder twee komplekse getalle soos (a, b) met (c, d), gebruik die volgende formule, verduidelik in hierdie Mathworld artikel: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + advertensie)
Hou in gedagte dat `n komplekse nommer `n rol speel "werklike" en a "denkbeeldige", laasgenoemde is `n reële getal vermenigvuldig met die vierkantswortel van die negatiewe van 1, dikwels toegeken as i. Die komplekse getal (0, 0), byvoorbeeld, is 0 + 0i en (-1, -1) is (-1) + (-1 * i).
Is jy nog daar? Onthou dit om en c dit is terme eintlik en b en d terme denkbeeldige. Dus, as die denkbeeldige terme mekaar vermenigvuldig, sal die vierkantswortel van 1 negatief vermenigvuldig met hom 1 negatief wees, wat die resultaat negatief maak en dit verander reële- terwyl die getalle advertensie en BC hulle bly denkbeeldig, want die vierkantswortel van negatiewe 1 is nog steeds `n termyn van daardie produk. Daarom het ons die geleentheid as deel reële en bc + advertensie as deel denkbeeldige.
Nou, aangesien ons kry die vierkantswortel van getalle in plaas van twee verskillende getalle te vermenigvuldig, dit kan vereenvoudig word `n bietjie, want a = c en b = d, ons het die produk as (a-b, 2ab). En die "komplekse vliegtuig" na die "Cartesiese vlak" met die as x wat die werklike getal en die as voorstel en wat die denkbeeldige getal voorstel, word dit ook na verwys as(x-y, 2xy).

As jy weer `n sel bereken, en jy besef dat dit `n resultaat is, presies soos die een wat jy reeds vir die sel verkry het, sal jy besef dat jy vasgevang is in `n eindelose lasso - daardie selle sal nooit ontsnap nie. So jy kan `n kortpad neem, kleur die sel met die finale kleur en beweeg na die volgende een, (0,0) dit is natuurlik een van daardie selle.

Wil jy meer weet oor die raming van die absolute waarde van `n komplekse getal sonder om baie berekeninge te maak?

Die absolute waarde van `n komplekse getal (a, b) is die vierkantswortel van a + b, gelyk aan die formule van die reguit driehoek, omdat om en b hulle is reghoekig teenoor mekaar op die Cartesiese rooster (onderskeidelik die x- en y-koördinate). Aangesien dit bekend is dat die stel Mandelbrot gekoppel is aan die waarde van 2 en die twee vierkante is 4, is dit moontlik om te verhoed dat die vierkantige wortels gedink word deur net te sien of x + y >= 4

As enige van die hoekpunte van driehoek reguit lengte >= 2, dan is die skuinssy (skuins kant) moet ook meer as 2. As jy sien is nie, trek `n regte driehoek in `n Cartesiese rooster en sal voor die hand liggend te wees, of dink oor hierdie: 2 = 4 en voeg `n ander positiewe getal sodat (en die kwadratuur van `n negatiewe getal altyd positief sal wees) kan niks wees nie minder as 4. Daarom, indien enige komponent x of y van `n komplekse getal met `n grootte van 2 of meer, die absolute waarde van die getal is groter of gelyk aan twee, dan ontsnap Mandelbrot Set.

Om die "virtuele breedte" van elke sel, verdeel die "virtuele deursnee" binne die "aantal selle kleiner as een". `N Virtuele deursnee van 4 is in die vorige voorbeelde gebruik, want ons wil alles binne die radius van 2 wys (die Mandelbrto-stel is gekoppel aan die waarde van 2). Vir die benadering van die 3 gesigte / sye, waar 4 / (3 - 1), wat is 02/04, gevolg 2. Vir die vierkant van die 9 kante is dit 4 / (9 - 1), wat is 08/04, gevolg 0.5. Gebruik dieselfde grootte van die virtuele sel vir beide hoogte en breedte, selfs al maak jy een kant langer as die ander, anders word dit verwring.

waarskuwings

Wiskunde kan verslawend wees, soos ander dinge, maar dit is seker dat hulle nie skade sal veroorsaak of longkanker sal veroorsaak nie.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante