Hoe om `n Apolloniese sif te maak

`N Apollonius-sif is `n tipe beeld fraktale

conținut

Stappe
Deel 1
Deel 2

wat gevorm word uit `n versameling kleiner en kleiner sirkels wat binne `n groot sirkel voorkom. Elke sirkel van `n Apollonius-sif is raaklyn aan aangrensende sirkels, met ander woorde, hulle maak kontak in infinitesimale punte (oneindig klein). Die naam is te danke aan die Griekse wiskundige Apollonius van Perga. Hierdie tipe fraktal kan met `n redelike mate van kompleksiteit (met die hand of rekenaar) geteken word om `n pragtige en treffende beeld te vorm. Kyk daarna na die eerste stap om te begin.

stappe

Deel 1

Verstaan die sleutelkonsepte

As jy net belangstel om te teken `n sif van Apollonius, is dit nie nodig om op die wiskundige beginsels agter die fraktale te ondersoek om perfek akkuraat te wees nie. As u egter `n beter begrip van die onderwerp wil hê, is dit belangrik om die definisies van verskillende konsepte te verstaan wat ons sal gebruik wanneer u daaroor praat.

Prent getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 1

Definieer die sleutelterme. Die volgende terme word in die volgende beskrywings gebruik:

Apolonio-sif: een van die vele name waarmee ons `n tipe fraktal ken wat bestaan uit `n reeks kringe wat binne `n groot sirkel omring en raak aan die aangrensende sirkels. Dit staan ook bekend as "Leibniz verpakking" of "Apollonian verpakking".
Radius van `n sirkel: die afstand van die middelpunt van `n sirkel na sy rand. Gewoonlik word die veranderlike toegeken r.
Kromming van `n sirkel: die positiewe of negatiewe inverse van die radius, of ± 1 / r. Die kromming is positief wanneer u met die eksterne kromming van die sirkel werk en negatief wanneer u met die interne kromming werk.
Tangent: `n term wat toegepas word op lyne, vliegtuie en figure wat op `n oneindige punt kruis. Toegepas in `n Apollonius-sif, verwys dit na die feit dat die sirkels slegs op een enkele punt met ander aangrensende sirkels kontak maak. Hou in gedagte dat daar geen kruisings is nie, die raaklyne oorvleuel nie.

Prent getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 2

Verstaan Descartes se stelling. Dit is `n formule wat nuttig is om die grootte van die sirkels van `n Apollonius-sif te bereken. As ons die krommes (1 / r) van drie sirkels definieer, óf `n, b en c, onderskeidelik, die stelling vertel ons dat die kromming van die sirkel (of sirkels) raaklyn aan die drie, wat ons definieer as d, is: d = a + b + c ± 2 (vierkantswortel van (a × b + b × c + c × a)).

Vir ons doeleindes, sal ons net die reaksie gewoonlik verkry deur die plasing van `n plus-teken in die voorkant van die vierkantswortel (met ander woorde, gebruik ... + 2 (vierkantswortel (...)). Vir nou, is dit genoeg om te weet dat hoe afgetrek van die vergelyking het gebruike in ander verwante take.

Deel 2

Bou die sif van Apolonio

Apollonius sieves neem die vorm van pragtige fraktale reëlings van al hoe kleiner sirkels. Wiskundig, hulle het oneindige kompleksiteit, maar as jy `n rekenaartekeningprogram of tradisionele tekengereedskap gebruik, sal jy vroeër of later tot die punt kom waar dit onmoontlik is om kleiner sirkels te teken. Hou in gedagte dat hoe meer jou kringe meer akkuraat is, hoe meer hulle pas in jou skerm.

Prent getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 3

Versamel jou digitale of analoog tekengereedskap. In die volgende stap sal ons ons eie eenvoudige Apollonius-sif maak. Dit is moontlik om dit met die hand of per rekenaar te doen. In elk geval gaan jy perfek ronde sirkels trek. Dit is baie belangrik, aangesien elke sirkel binne Apollonius se sif perfek raak aan die aangrensende sirkels. As die kringe effens verkeerd is, kan hulle jou finale produk ruïneer.

As jy dit op `n rekenaar doen, sal jy `n program nodig hê waarmee jy sirkels met `n vaste radius vanaf `n sentrale punt maklik kan teken. Gfig is `n teken uitbreiding met vektore vir die gratis beeldbewerking program GIMP en jy kan dit ook gebruik met `n verskeidenheid ander tekening programme (sien die materiaal afdeling vir die relevante skakels). Jy kan ook `n sakrekenaar aansoek en `n woordverwerkingsprogram of `n werklike notaboek nodig hê om na krommes en radius te wys.
As jy dit met die hand doen, sal jy `n sakrekenaar benodig (wetenskaplik of verkieslik grafies), `n potlood, `n kompas, `n liniaal (verkieslik `n millimeterskaal, grafiekpapier en `n notaboek om notas te maak.

Prent getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 4

Begin met `n groot sirkel. Jou eerste taak is maklik, teken net `n groot perfek ronde sirkel. Hoe groter die sirkel, hoe meer kompleks sal jou skerm wees. Probeer dit so groot te maak as wat die papier toelaat of so groot dat dit maklik in `n venster van jou tekeningprogram vertoon kan word.

Prent getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 5

Skep `n klein sirkel in die oorspronklike en raak aan die kant. Trek dan nog `n sirkel in die eerste, dit moet kleiner wees as die oorspronklike, maar steeds redelik groot. Die presiese grootte van die tweede sirkel hang af van jou, daar is geen regte grootte nie. Vir ons doel, gaan ons ons tweede sirkel teken sodat dit presies die helfte van ons groot buitenste sirkel bereik. Met ander woorde, ons gaan ons tweede sirkel trek sodat sy middelpunt die helfte van die radius van die groot sirkel is.

Onthou dat in die sieves van Apollonius alle aangrensende sirkels mekaar raak. As jy `n kompas gaan gebruik om jou sirkels met die hand te teken, reproduseer hierdie effek deur die skerp punt van die kompas die helfte van die radius van die groot buitenste sirkel te plaas. Pas jou potlood aan sodat raak net die rand van die groot sirkel, teken dan jou klein binnekring.

Prent getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 6

Teken `n identiese sirkel "aan die teenoorgestelde kant" van die klein binnekring. Volgende gaan ons `n ander sirkel trek aan die teenoorgestelde kant van die eerste een. Hierdie sirkel moet tangentiaal wees vir die groot buitenste sirkel en klein binnekring, wat beteken dat jou twee klein binnekringe presies in die middel van die groot buitenste sirkel moet raak.

Prent getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 7

Pas Descartes se stelling toe om die grootte van u volgende kringe te bepaal. Kom ons stop vir `n oomblik teken. Noudat ons drie sirkels in ons sif het, kan ons die Descartes-stelling gebruik om die radius van die volgende sirkel te vind wat ons gaan teken. Onthou die stelling van Descartes is d = a + b + c ± 2 (vierkantswortel (a × b + b × c + c × a)), waar a, b en c die krommes van jou drie sirkels raaklyn aan mekaar. Om die radius van ons volgende sirkel te vind, moet ons die kromming vind van elk van die sirkels wat ons tot dusver het en op die manier die kromming van ons volgende sirkel vind, dan vind ons sy radius.

Ons gaan die radius van ons buitenste sirkel definieer as 1. Omdat die ander kringe hierin is, laat ons met sy kromming werk binne (in plaas van sy buitenste kromming), en gevolglik weet ons dat sy kromming negatief is. - 1 / r = -1/1 = -1. Die kromming van die groot sirkel is -1.

Die radius van die klein sirkels is die helfte van die radius van die groot sirkel, of met ander woorde 1/2. Aangesien hierdie kringe mekaar raak en die groot sirkel aan die buitenste sye raak, beteken dit dat ons met die krommes werk Buite, dus is hul krommes positief, 1 / (1/2) = 2. Die kromming van die klein sirkels is 2 vir albei gevalle.

Nou, deur die vergelyking van die Descartes-stelling, weet ons dat a = -1, b = 2, en c = 2. Kom ons vind die waarde van d:

d = a + b + c ± 2 (vierkantswortel (a × b + b × c + c × a))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (vierkantswortel (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

d = -1 +2 + 2 ± 2 (vierkantswortel (-2 + 4 + -2))

d = -1 +2 + 2 ± 0

d = -1 +2 +2

d = 3. Die kromming van ons volgende sirkel is 3. Sedert 3 = 1 / r, is die radius van ons volgende sirkel 1/3.

Prent getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 8

Skep jou volgende stel kringe. Gebruik die waarde van die radius wat u net gevind het om u volgende twee sirkels te teken. Onthou dat dit tangentiaal moet wees vir die sirkels waarvan u krommings gebruik het vir a, b en c in Descartes se stelling. Met ander woorde, hulle sal raak aan die oorspronklike sirkel en die tweede stel sirkels. Om hierdie kringe tangentiaal te maak vir die drie sirkels, moet jy hulle in `n oop ruimte bo en onder van die gebied binne jou oorspronklike groot sirkel teken.

Onthou dat die radiusse van hierdie kringe gelyk is aan 1/3. Meet 1/3 vanaf die rand van die buitenste sirkel, teken dan jou nuwe sirkel. Dit moet tangentiaal wees vir die drie sirkels wat dit omring.

Prent getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 9

Gaan voort op hierdie manier om aan te hou om kringe te voeg. Aangesien hulle fraktale is, is Apollonius-sewe oneindig kompleks. Dit beteken dat jy steeds kleiner sirkels kan byvoeg. U word slegs beperk deur die akkuraatheid van u gereedskap (of, as u `n rekenaar gaan gebruik, deur die vermoë om in u tekenprogram in te zoem). Elke sirkel, maak nie saak hoe klein nie, moet tangentiaal wees teenoor die ander drie sirkels. Om die volgende kringe van u skerm te teken, skryf die krommes van die drie sirkels waaraan dit in die Descartes-stelling tangentiaal sal wees. Gebruik dan jou antwoord (wat die radius van jou nuwe sirkel sal wees) om jou sirkel akkuraat te teken.

Hou in gedagte dat ons gekies het om `n simmetriese sif te teken, sodat die radius van `n sirkel dieselfde is as die sirkel wat "aan die teenoorgestelde kant" is. Let egter daarop dat nie alle Apollonius-sewe simmetries is nie.

Kom ons doen nog een voorbeeld. Kom ons sê dat daar na ons laaste wedstryd gelykop sirkels, nou wil ons sirkels wat raaklyn aan ons derde wedstryd, tweede wedstryd en die groot buitenste sirkel trek. Die krommes van hierdie sirkels is onderskeidelik 3, 2 en -1. Kom ons sê dat ons hierdie nommers by Descartes se stelling betree, met a = -1, b = 2 en c = 3:

d = a + b + c ± 2 (vierkantswortel (a × b + b × c + c × a))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (vierkantswortel (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))

d = -1 +2 + 3 ± 2 (vierkantswortel (-2 + 6 + -3))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (vierkantswortel (1))

d = -1 +2 + 3 ± 2

d = 2, 6. Ons het twee antwoorde! Aangesien ons weet dat ons volgende vierkantswortel kleiner sal wees as enige van die ander sirkels waaraan dit raaklyn is, is slegs die kromming van 6 (en dus `n radius van 06/01) Dit maak sin.

Ons ander antwoord, 2, verwys eintlik na ons hipotetiese sirkel aan die teenoorgestelde kant van die raakpunt van ons tweede en derde sirkels. Hierdie kring hierdie is tangensiaal aan beide van hierdie sirkels en ook die groot buitenste sirkel, maar sou oorsteek met sirkels het ons reeds getrek, sodat ons kan dit ignoreer.

Prent getiteld Skep `n Apollonian Gasket Stap 10

As `n uitdaging, probeer om `n asimmetriese Apollonius-sif te maak deur die grootte van jou tweede sirkel te verander. Alle Apollonius sieves begin op dieselfde manier, met `n groot buitenste sirkel wat as die rand van die fraktal optree. Daar is egter geen rede waarom jou tweede sirkel noodwendig is nie moet die helfte van die radius van die eerste hê, ons kies om dit te doen, want dit is eenvoudig en maklik om te verstaan. Om pret te probeer, probeer om `n sif met die tweede sirkel van `n ander grootte te begin. Dit sal jou na opwindende eksplorasiepaaie lei.

Nadat u die tweede sirkel geteken het (ongeag die grootte daarvan), moet u volgende optrede wees om een of meer kringe wat aan mekaar en aan die groot buitenste sirkel raak, te teken. Daar is ook nie `n korrekte manier om dit te doen nie. Vervolgens kan u Descartes se stelling gebruik om die radiusse van enige van die volgende kringe te bepaal, soos hierbo getoon.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante