Hoe om `n wortel plek in `n stelsel te trek

`N Stelsel met terugvoer word stabiel wanneer die vergelykings wat hierdie stelsel beskryf, wortels het wat sekere patrone volg. Andersins word die stelsel onstabiel. `N Voorbeeld van so `n onstabiele stelsel is wanneer die mikrofone uitgestort word. Deel van die stem van die spreker se teruggevoer na die mikrofoon en versterk in die versterkers en dan terug na die sprekers en die mikrofoon weer, die skep van `n lus wat oor en oor herhaal totdat saturating versterkers wat `n hoë opgeslaan lawaai maak.

conținut

Stappe
Metode 1
Metode 2

Terugvoering hou soms die stelsel in die onstabiliteitsmarge en begin om die stelsel te laat ossilleer. Dit kan nuttig wees in elektronika en elders, om deurlopende ossillasie te hê - in `n toestel soos `n horlosie. Maar as die marge nie versigtig bereken word nie, kan `n klein verandering die stelsel verwoes totdat dit vernietig word. Dit word gesien, byvoorbeeld, wanneer `n paar brûe ineenstorting omdat ossillerende word, dan slaag weghol onstabiliteit wanneer mense, motors of treine oor hulle slaag. A nuutgeboude brug in Londen, oop vir voetgangers vir die millennium, hierdie staat was naby die eerste opening dag, maar omdat dit steeds onder noukeurige waarneming van die bouers, kon homself bevat en ramp het nie gebeur nie. Die wortellokus help ingenieurs om die spesifikasie van hul stelsels te voorspel om aan die stabiliteitskriteria te voldoen. Hoewel die hele akademie is gevul met `n oorvloed van programme om te trek "die wortellokus" dit is nog fassinerende vir ingenieurswese vakleerlinge leer die konseptuele raamwerk van hierdie metode.

stappe

Metode 1

Voorbereidsels

Leer dat die eenvoudigste stelsel `n ingang en uitgang het. Die stelsel is tussen hierdie twee. Die ingang betree die stelsel, dan word dit verander en dan kom dit uit as die uitgang wat verwag word. `N Stelsel word gemaak om die genoemde verandering te skep wat vir die uitset verwag word.

Dit toon `n stelsel in `n boks. Die ingang betree haar soos `n pyl en die uitgang verlaat haar soos `n pyl.

Enigiets wat die stelsel aan die inset doen, word die stelselfunksie genoem.

Voordat die funksie uitgevoer word, doen `n stelsel altyd een van drie dinge by sy ingang,

Hierdie plek van wortels word `n plek van wortels van 180 ° genoem

Verminder die inskrywing. In hierdie geval word daar gesê dat die versterkingskoëffisiënt minder as een is (0 < K < 1).

Dit hou dit net op dieselfde waarde. In hierdie geval word daar gesê dat die versterkingskoëffisiënt gelyk is aan een (K = 1).

Dit verhoog dit net. In hierdie geval word daar gesê dat die versterkings koëffisiënt groter is as een (K> 1).

Voordat u die funksie uitvoer, kan `n stelsel die insette omkeer, en daarna doen altyd een van drie dinge by die insette,

Hierdie plek van wortels staan bekend as die plek van wortels 0 °.

Dit verminder net die omgekeerde inskrywing. In hierdie geval word gesê dat die versterkings koëffisiënt groter is as minus een (-1 < K < 0).

Dit hou dit net op dieselfde waarde. In hierdie geval word daar gesê dat die amplifikasie-koëffisiënt gelyk is aan minus een (K = -1)

Dit verhoog dit net. In hierdie geval word daar gesê dat die amplifikasie-koëffisiënt minder is as minus een (K < - 1)

K word "wins" van die stelsel genoem.

`N stelsel met terugvoer het `n pad vanaf die uitgang na die ingang, en deel en deel iets van die uitgang na die ingang.

Onthou dat `n stelsel sonder terugvoer, in ingenieurswese notasie, soos die een in die prentjie is. Die verhouding van die uitset na die inset word beskryf as die vermenigvuldiging van die inset X (s) deur die funksie van die G-stelsel (s) om uit te voer Y (s). Dit is, En (s) = G (s) X (s).

Manipuleer die finale uitslag om die uitslag te verkry.

Gebruik dan dieselfde formele notasies vanaf nou. Let daarop dat binne die kruis (X) `n plus teken (+) vir die inskrywing en `n minusteken (-) vir die terugvoer is. Die uitgang kom, en deur `n terugvoerpad sal dit die ingang verander. Wanneer die uitset Y (s) laat die terugvoer, word Y (s) deur H (s) (dit is, Y (s) H (s)), en afgetrek van die X-inskrywing (s). Daarom, in werklikheid X (s) -Y (s) H (s) gaan na die stelsel. X (s) -Y (s) H (s) gaan na die stelsel, word vermenigvuldig met die funksie van die stelsel en kom uit as (X (s) -Y (s) H (s)) G (s). Daarom is die uitset Y (s) is regtig, En (s) = (X (s) -Y (s) H (s)) G (s)

Manipuleer die finale uitslag om die uitslag te verkry.

Let daarop dat die radius Y (s) / X (s), ongeag dit, word dit `n oordragsfunksie genoem.

Die oordragsfunksie soos in vergelyking 2 staan bekend as die geslote lus oordrag funksie.

Die produk G (s) H (s) in vergelyking 2 staan bekend as die ooplus-oordragfunksie.

Hou in gedagte dat jy `n vergelyking kan hê, 1 + H (s) G (s) = 0. Hierdie vergelyking word genoem kenmerkende vergelyking van die stelsel.

Herinner. Al die genoemde funksies, insluitende elk van die X (s) of Y (s) in hulself is funksies rasionele van die komplekse veranderlike s.

Onthou ook dat `n funksie rasionele kompleks, is die radius van twee komplekse polinoom. Byvoorbeeld, H (s) = n (s) / d (s).

Vergelyk die radius van Y (s) / X (s) in twee stelsels, sonder terugvoering en met terugvoer, om te weet wat die effek van terugvoering in `n stelsel is.

Maak `n eenvoudige berekening om jouself te oortuig dat die terugvoerfunksie ingesluk kan word deur die insette, voor die punt van vergelyking.

Let op die eenvoudige terugvoer. Dikwels in die terugvoerlus is die terugvoerfunksie `n eenheid - dit is H (s) = 1.

Skryf vergelyking 2 hieronder, soos,

Die afsonderlike wins K. Dit is beter om die wins van die stelsel as `n onafhanklike blok te skei. Dit is korrek dat G nou (s) is nie dieselfde as die vorige G (s), aangesien sy K-wins daaruit verwyder is, maar dit is gerieflik om voort te gaan om dieselfde notasie daarvoor te gebruik, asof ons `n blok K en `n blok G gehad het (s) van die begin af.

Skryf dan vergelyking 3 as,

Let daarop dat die noemer die stabiliteit van die stelsel bepaal. U moet weet wanneer hierdie noemer nul word of nul benader op die oomblik wanneer die stelselwins, K, as `n parameter verander. Jy moet 1 + KG hersien (s) = 0. Of G (s) = - 1 / K. Veronderstel dat K> 0 en dan uitvind wat gebeur deur simmetrie as K < 0. Vir `n totale begrip, selfs in die irrelevante geval, moet K = 0 ook bespreek word.

Bereken die grootte (modulus) en die hoek (argument) van G (s). Gevolglik, let op dat | G (s) | = 1 / K en / G (s) = 180 °q- waar, "q" is `n vreemde heelgetal. Hierdie simbool / ___ toon die hoek van `n komplekse funksie.

Onthou dat G (s) is `n rasionale funksie - dit is gelyk aan `n polinoom gedeel deur `n polinoom, beide in dieselfde veranderlike `s`. daarom,

Dit dui daarop dat, in die algemeen, is dit nie maklik om wortels van `n polinoom meer as drie of vier graad te kry, en skrywe dit op hulle wortel faktore, soos gedoen in vergelyking 5. Dit is `n hindernis wanneer die plek van die wortels geteken word. Hoe dan ook, dit word nou aanvaar dat elke faktorisering bekend is. Gevolglik, vir `n graad polinoom N jy het N komplekse wortels r _i

Begin van die eenvoudigste stelsel. Die kenmerkende vergelyking blyk te wees s + K = 0. verandering K van 0 op, verander s van 0 a - _∞ afstammeling.

Herinner. Op hoërskool het hulle jou gevra om dinge op te los soos om `n parameter te bepaal β so dat `n kwadratiese vergelyking x + x + β = 0 het twee gelyke wortels. Dit was `n basiese probleem met die probleem met die parameter β. Wat jy moet doen is om die diskriminant te bereken en gelyk aan nul om aan die aangeduide toestand te voldoen: Δ = 1 - 4β = 0 en dus β = 1/4.

Los `n soortgelyke wortelplek op vir die kontrolesisteem wat in die terugvoerlus hieronder voorgestel word. In plaas van die diskriminant, sal die kenmerkende funksie ondersoek word - dit is 1 + K (1 / s (s + 1) = 0. `N Manipulasie van hierdie vergelyking sluit dit af s + s + K = 0.

Vra vrae rakende K.

Begin van K = 0 Jy het twee ware wortels s = 0 en s = - 1, omdat die kenmerkende vergelyking is s + s = 0

Verhoog K. Jy het nog twee regte wortels, K = 1/4, waar die twee wortels dieselfde sal wees - dit is s₁ = s₂ = - 1/2.

verhoog K> 1/4. Die diskriminant sal negatief wees. Jy het twee denkbeeldige wortels as `n komplekse vervoeging met mekaar. Maar die werklike waarde van beide wortels bly dieselfde en gelyk aan - 1/2. verhoog K het geen effek op dit nie - slegs die denkbeeldige dele sal groter word. Die plek van wortels is in dik lyne getrek.

Daar is twee wortels vir hierdie kwadratiese polinoom en hulle het beslis by `n punt in die regte lyn vir `n sekere parameter waarde K wat die diskriminant gelyk aan nul maak en `n herhaalde wortel skep.

Die gedeelte van die reële lyn tussen hierdie twee wortels is deel van die wortellokus.

Hierdie punt word genoem punt-o of tak punt van die asimptote van die plek van wortels.

Tot hierdie waarde van K die stelsel word afgesluit sonder oormaat of tekort (dit skud nie voordat dit afgaan nie).

in K = 1/4 Die stelsel is krities gedemp.

Daarna, verhoog K dit verhoog slegs die denkbeeldige deel van die geskape wortelvervoeging.

Dit plaas die vertakking van die wortelgebied loodreg op die regte lyn.

Teoreties gaan alles langs hierdie stelsel af, maar met bewing. Prakties kan die verhoging van die wins die stelsel onstabiel maak. Bewing kan so aanhoudende dat ongewenste frekwensies in die stelsel, wat op sy beurt lei tot die stelsel buite sy materiaal sterkte sneller doen. Byvoorbeeld, klein krake bereik katastrofiese punte of dinamiese moegheid dwing dit. Ontwerpers beplan altyd om `n onbeperkte toename in te voorkom K.

Weet die betekenis van dinge wat in die komplekse vliegtuig gebeur. Enige arbitrêre punt in die komplekse vlak kan getoon word deur `n vektor, wat `n lengte en `n hoek het ten opsigte van die reële lyn.

- r is die wortel van s + r = 0

dit word gesê dat dit die toetspunt is om te evalueer - r.

Enige keuse van s op die regte lyn heet "real-line" evaluering van - r.

Let daarop dat die komplekse vliegtuig nie soos die regte lyn is nie.

In die regte lyn word jy in die tussenposes beperk. `N Integrale het slegs twee eindpunte om geëvalueer te word.

In die komplekse vliegtuig kan jy nie dwaal nie. In teenstelling hiermee moet jy `n streek kies om jou evaluasies te beperk. Selfs dit is baie. U beperk u evaluasies slegs om dit op `n sekere kromme of sekere (gewoonlik eenvoudige) pad te maak.

Evalueer die arbitrêre toetspunt s₁ met betrekking tot die wortel van die polinoom s + 2 = 0. Dit is `n vektor van die punt van s₁ tot aan die punt van r.

Gestel jy het `n aantal regte wortels in die regte lyn. Vra watter deel van die reële lyn val by die wortel plek wanneer die wins k Dit wissel van nul tot meer oneindigheid.

Kies enige punt in die koninklike lyn, as die aantal werklike wortels (nulle en pale) aan die regterkant van die wortel is `n onewe getal (1, 3, 5, ...), dan daardie gedeelte van die werklike lyn is ook die plek van wortels.

In die eenvoudige integreerder het al die punte in die negatiewe deel van die reële lyn slegs een wortel aan die regterkant. Daarom is die hele negatiewe reële lyn in die plek van wortels.

In die enjinbeheerstelsel is slegs die punte van die regte lyn tussen s = 0 en s = - 1 hulle het `n vreemde aantal wortels aan die regterkant. Daarom is slegs die gedeelte tussen s = 0 en s = - 1 dit is in die plek van wortels.

Onthou dat die kenmerkende funksie vir die algemene terugvoerlus was 1 + G (s) H (s) = 0. Verwyder die wins K waar dit ook al is, as `n aparte parameter en skryf die kenmerkende vergelyking, waar F (s) dit is `n rasionele funksie - dit is, F (s) = N (s) / D (s). Beide N (s) as D (s) hulle is polinome.

Die wortels van N (s), dit is die nulle van F (s) hulle is `n polinoom van graad m.

Die wortels van D (s), dit is die pole van F (s) hulle is `n polinoom van graad N.

Die kenmerkende funksie van die eenvoudige integreerder is 1 + K / s = 0.

F (s) = 1 / s.

Die kenmerkende funksie van die motoriese beheerstelsel is 1 + K / s (1 + s) = 0.

F (s) = 1 / s (1 + s).

Herken `n "toepaslike" stelsel. In `n toepaslike stelsel m < n, die aantal nulle is streng minder as die aantal pale. Dit beteken dat die stelsel nie oneindige oorgange omdraai of duld nie.

Weet die betekenis van die takke. Takke is paaie wat die wortels van die kenmerkende funksie skep as die waarde van die wins K Dit wissel van nul tot oneindig. Elke waarde van K Dit gee `n nuwe kenmerkende funksie met verskillende wortels.

As jy verskillende waardes wil stel K in die kenmerkende vergelyking en los die polinoom om die wortels te kry, of jy `n rekenaar of grafiese metodes moet gebruik as die plek van wortels om die oplossings te skets.

Metode 2

Teken die plek van wortels

Leer die basiese reël. `N Wortelsplek is simmetries ten opsigte van die as van die komplekse vlak.

Leer die eerste en die eenvoudigste reël om die plek van wortels te teken. Die aantal takke van die wortelplek is dieselfde as die aantal wortels van D (s)- dit is die aantal pole van F (s).

Die eenvoudige integreerder het `n paal. Dit het `n tak.

Die enjinbeheerstelsel het twee pale, een in s = 0 en die ander in s = - 1. Dit het twee takke.

Gaan voort om die tweede eenvoudigste reël te leer. wanneer K Dit wissel van nul tot oneindigheid, die takke van die plek van wortels kan asimptoties tot oneindig nader.

Al hierdie asimptote sny op `n punt op die regte lyn.

Die snypunt word die punt genoem σ-.

Bereken die punt σ- van,

Voeg al die pole by en trek dan die resultaat van die byvoeging van alle nulle af. Deel nou die resultaat deur die verskil van die getalle van die pole en die getal van die nulle.

Die sigma punt vir die eenvoudige integreerder is σ = 0

Die sigma punt vir motoriese beheer is σ = (0 - 1) / 2 = - 1/2

Moenie asimptote met takke verwar nie. Die asimptote neem die takke tot oneindig.

Onthou dat reguitlyne hul eie asimptote is, as hulle na oneindigheid beweeg.

Leer wat `n nul is vir oneindigheid. In alle gevalle waar m < N, `n waarde van s _{→ ∞} dit maak F (s) → 0. Dit word `n nul tot oneindigheid genoem.

Interpreteer uit vergelyking 7 wat jy dit kan manipuleer F (s) = - 1 / K. Dit beteken dat K = 0 geledeF (s) = ∞. Maar jy weet dit F (s) dit word oneindig in sy eie pale. Daarom begin die takke van die wortelsplek altyd vanaf die pale, waar terselfdertyd K Dit is nul.

Dit kom tot die gevolgtrekking dat daar altyd takke is n opkoms (van oorsprong) van die pole N F (s).

Vra jouself af, waar land die takke? Die takke m eindig in nulle m. Die oorblywende takke n - M gaan na oneindigheid, wat as nul tot nul beskou word.

Waardeer die derde reël. Die derde reël bepaal die hoeke van asimptote wat die takke van die wortellokus rig. Dit is gelyk aan 180 ° / (n - m).

Gebruik die simmetrie om al die asimptote te teken.

Leer hoe `n tak wegbeweeg van `n paal. Dit word die hoek van vertrek van die tak van die paal. Gebruik hierdie verhouding Bestudeer wat elke faktor is,

J: is die indeks van die paal wat ondersoek word. Jy moet die beginhoek van daardie spesifieke paal bereken.

φ_J : is die wedstrydhoek van die paal J.

p_J : is die komplekse waarde van die paal wat ondersoek word.

i: dwaal tussen die aantal nulpunte van die eerste nul ( i = 1) al m-e nul (i = m).

p_J - z_i : is die evaluering van p_J in z_i.

k: dwaal tussen die aantal pale van die eerste paal ( k = 1) na n-paal (k = N).

k = J deel blykbaar nie aan nie. Maar selfs as dit nie so is nie, het dit geen betekenis nie - dit blyk uit p_J - p_J = 0- sonder deelname.

p_J - p_k : is die evaluering van p_J in p_k.

arg : toon dat jy die kleinste hoek van die vektor binne die hakies bereken [...] met betrekking tot die reële as.

q: dit is `n vreemde heelgetal. Die meeste van die tyd net q = 180 ° is genoeg.

Verstaan die betekenis van bogenoemde vergelyking. Jy moet die beginhoek van `n sekere paal ken, dan,

Bepaal die hoek van elke nul wat deur die paal geëvalueer word. Sit hulle saam.

Bepaal die hoek van elke paal wat deur die paal geëvalueer word. Sit hulle saam.

Trek die twee van mekaar af.

Voeg 180 ° by die resultaat (soms moet jy byvoeg - 180 ° of selfs 540 °, of - 540 °).

Leer hoe `n tak na `n nul beweeg. Dit word die hoek van aankoms van die tak na nul. Gebruik hierdie verhouding om dit te bereken. Bestudeer wat elke faktor is,

J: is die nulindeks wat ondersoek word. U moet die beginhoek van hierdie spesifieke nul bereken.

ɸ_J: is die beginhoek by nul J.

z_J: is die komplekse waarde van nul wat ondersoek word.

k: dwaal tussen die aantal pale van die eerste paal ( k = 1) na n-paal (k = N).

z_J - p_k : is die evaluering van z_J in p_k.

i: dwaal tussen die aantal nulpunte van die eerste nul ( i = 1) al m-e nul (i = m).

i = J deel blykbaar nie aan nie. Maar selfs as dit nie so is nie, het dit geen betekenis nie - dit blyk uit z_J - z_J = 0- sonder deelname.

z_J - z_i : is die evaluering van z_J in z_i.

arg : toon dat jy die kleinste hoek van die vektor binne die hakies bereken [...] met betrekking tot die reële as.

q: dit is `n vreemde heelgetal. Die meeste van die tyd net q = 180 ° is genoeg.

Verstaan die betekenis van bogenoemde vergelyking. Jy moet die beginhoek by `n sekere nul ken, dan,

Bepaal die hoek van elke paal wat deur die nul geëvalueer word. Sit hulle saam.

Bepaal die hoek van elke nul wat geëvalueer word deur die nul. Sit hulle saam.

Trek die twee van mekaar af.

Voeg 180 ° by die resultaat (soms moet jy byvoeg - 180 ° of selfs 540 °, of - 540 °).

Leer oor die weeskinders. Die takke wat die pale verlaat sonder om nul te bereik, sal die oneindigheid aan die kante van die voogasimptote nader.

Vier dat jy nou hier is. Laat `n paar spekulasiepunte agter om die skets meer realisties te maak. Dit word gedoen deur die toetspunt te evalueer of `n basiese sakrekenaar te gebruik (die tye waarop jy die pynlike berekeninge moes gebruik, is agtergelaat). Die beste punte om te vind en die meeste van die kommerwekkende punte is ook "kruising" van die "wortelplek" op die denkbeeldige asse. Dit is die punte wat die ossillatoriese stelsel maak en dan, in die aangeduide helfte van die komplekse vlak, word die stelsel nie-dempende en onstabiel.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante